Mostre que: não é homeomorfo a . (Dica: Tire dois pontos de e use conexidade)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não é homeomorfo a . O conteúdo principal aqui é usar o fato de que homeomorfismos preservam propriedades de conexidade e número de componentes conexas. A ideia é remover dois pontos de cada esfera e comparar o número de componentes resultantes.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um homeomorfismo
Sejam pontos distintos. Então
é também um homeomorfismo. Logo, S^1setminusx,y e S^2setminusf(x),f(y) teriam o mesmo número de componentes conexas.
Passo 3
Mostramos que S^1setminusx,y tem duas componentes conexas. De fato, S^1 é um círculo; ao retirar dois pontos distintos x e y, sobram exatamente dois arcos abertos, cada um conexo, e eles são disjuntos. Portanto
nº de componentes de S^1setminusx,y=2 º
Passo 4
Agora, veja que S^2setminusf(x) é homeomorfo a R^2 (pelo estereográfico). Retirar mais o ponto f(y) corresponde a
R^2setminusum ponto,
que é conectado (na verdade, até arcoconexo). Logo
nº de componentes de S^2setminusf(x),f(y)=1 º
Isso contradiz o passo anterior, em que havíamos que os dois espaços deveriam ter o mesmo número de componentes conexas.
Resposta
Não existe homeomorfismo entre S^1 e S^2, pois remover dois pontos de S^1 deixa 2 componentes conexas, enquanto remover dois pontos de S^2 deixa apenas 1 componente.