Mostre que:
S^1 não é homeomorfo a S^2. (Dica: Tire dois pontos de S^1 e use conexidade)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que S^1 não é homeomorfo a S^2. O conteúdo principal aqui é usar o fato de que homeomorfismos preservam propriedades de conexidade e número de componentes conexas. A ideia é remover dois pontos de cada esfera e comparar o número de componentes resultantes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um homeomorfismo
f colon S^1 to S^2
Sejam x,yin S^1 pontos distintos. Então
fl|S^1setminusx,y colon S^1setminusx,y ;longrightarrow; S^2setminusf(x),f(y)
é também um homeomorfismo. Logo, S^1setminusx,y e S^2setminusf(x),f(y) teriam o mesmo número de componentes conexas.

Passo 3

Mostramos que S^1setminusx,y tem duas componentes conexas. De fato, S^1 é um círculo; ao retirar dois pontos distintos x e y, sobram exatamente dois arcos abertos, cada um conexo, e eles são disjuntos. Portanto
nº de componentes de S^1setminusx,y=2 º

Passo 4

Agora, veja que S^2setminusf(x) é homeomorfo a R^2 (pelo estereográfico). Retirar mais o ponto f(y) corresponde a
R^2setminusum ponto,
que é conectado (na verdade, até arcoconexo). Logo
nº de componentes de S^2setminusf(x),f(y)=1 º
Isso contradiz o passo anterior, em que havíamos que os dois espaços deveriam ter o mesmo número de componentes conexas.

Resposta

Não existe homeomorfismo entre S^1 e S^2, pois remover dois pontos de S^1 deixa 2 componentes conexas, enquanto remover dois pontos de S^2 deixa apenas 1 componente.

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