Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=(1+4 x)^5(3+x-x^2)^8;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (1+4x)^5,(3+x - x^2)^8
Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x) = (1+4x)^5, v(x) = (3+x - x^2)^8,
de modo que f(x)=u(x),v(x).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para obter u'(x). Tem-se
u'(x) = 5,(1+4x)^4,l((1+4x)'r) = 5,(1+4x)^4cdot 4 = 20,(1+4x)^4

Passo 4

Agora derivamos v(x) também pela regra da cadeia:
v'(x) = 8,(3+x - x^2)^7,l((3+x - x^2)'r) = 8,(3+x - x^2)^7cdot(1 - 2x)

Passo 5

Usamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo u,u',v,v',
f'(x) = 20,(1+4x)^4,(3+x - x^2)^8 + (1+4x)^5cdot 8,(1 - 2x),(3+x - x^2)^7

Passo 6

Fatoramos o máximo de potências comuns: (1+4x)^4(3+x - x^2)^7.
f'(x) = (1+4x)^4(3+x - x^2)^7l[ 20,(3+x - x^2) +8,(1 - 2x),(1+4x) r]

Passo 7

Simplificamos a expressão no colchete:
20,(3+x - x^2) =60 +20x -20x^2, 8,(1 -2x),(1+4x) =8l(1+4x -2x -8x^2r) =8 +16x -64x^2
Somando:
60 +20x -20x^2 +8 +16x -64x^2 =68+36x-84x^2 =4,(17+9x-21x^2)
Logo,
f'(x) =4,(1+4x)^4,(3+x - x^2)^7,(17+9x-21x^2)

Resposta

f'(x) =4,(1+4x)^4,(3+x - x^2)^7,(17+9x-21x^2)

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