Exercício 3 (S.1.5)
Seja
.
a) As equações da forma
são chamadas homogêneas. Prove que a mudança de variáveis
transforma equações homogêneas em equações com variáveis separáveis.
b) Resolva a equação
Seja
a) As equações da forma
b) Resolva a equação
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais ordinárias do tipo
que são chamadas homogêneas. Na parte (a) queremos mostrar que a substituição
transforma essa equação em uma de variáveis separáveis. Na parte (b) aplicamos esse resultado para resolver
Passo 2
Começamos fazendo a mudança de variável
. Então
Substituindo na equação homogênea
e lembrando que
, obtemos
Passo 3
Reescrevendo a equação do passo anterior, isolamos
:
Isso mostra que a equação em
é de variáveis separáveis, pois o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Para a parte (b), observe que
é exatamente uma equação homogênea com
Aplicamos
e do passo 2 temos
Passo 5
Integrando a equação separável
obtemos
Voltando a
, segue
Passo 6
Impondo a condição inicial
temos
Logo a solução particular é
Resposta
A solução da equação
com
é