Exercício 3 (S.1.5)
Seja f: R R.
a) As equações da forma
x^prime=f(xt), t neq 0
são chamadas homogêneas. Prove que a mudança de variáveis x=y t transforma equações homogêneas em equações com variáveis separáveis.
b) Resolva a equação
x^prime=x+tt, x(1)=0

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais ordinárias do tipo
x' = f!l(tfracxtr), tneq 0,
que são chamadas homogêneas. Na parte (a) queremos mostrar que a substituição
x = y,t
transforma essa equação em uma de variáveis separáveis. Na parte (b) aplicamos esse resultado para resolver
x' = x+tt, x(1)=0

Passo 2

Começamos fazendo a mudança de variável x = y,t. Então
x' = ddt(y,t) = y + t,dydt
Substituindo na equação homogênea x' = fl(tfracxtr) e lembrando que tfracxt=y, obtemos
y + t,dydt ;=; f(y)

Passo 3

Reescrevendo a equação do passo anterior, isolamos tfracdydt:
t,dydt = f(y) - y Longrightarrow dyf(y)-y = dtt
Isso mostra que a equação em y é de variáveis separáveis, pois o lado esquerdo depende só de y e o direito só de t.

Passo 4

Para a parte (b), observe que
x' = x+tt = xt + 1
é exatamente uma equação homogênea com
f(u) = u + 1, u = xt
Aplicamos x = y,t e do passo 2 temos
y + t,dydt = f(y) = y + 1 Longrightarrow t,dydt = 1

Passo 5

Integrando a equação separável
dydt = 1t
obtemos
y(t) = ln|t| + C
Voltando a x = y,t, segue
x(t) = tl(ln|t| + Cr) = tln|t| + C,t

Passo 6

Impondo a condição inicial x(1)=0 temos
0 = x(1) = 1cdotln|1| + Ccdot1 = 0 + C Longrightarrow C = 0
Logo a solução particular é
x(t) = t,ln|t|

Resposta

A solução da equação x'=tfracx+tt com x(1)=0 é
x(t) = t,ln|t|

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