Resolva os problemas de valor inicial dados:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo com condição inicial
O conteúdo é resolução de sistema por autovalores, autovetores e vetor generalizado devido à multiplicidade algébrica maior que a geométrica.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
Logo o autovalor único é
lambda=4 com multiplicidade algébrica
2 .
Passo 3
Obtemos um autovetor para
lambda=4 resolvendo
Da primeira linha
-2v1+4v2=0 vem
v1=2v2 . Tomando
v2=1 , escolhemos
Como a multiplicidade geométrica é
1 , buscamos um vetor generalizado
w tal que
Escrevendo
w=(w1,w2)^T , a equação dá
-2w1+4w2=2 , i.e.\
w1=2w2-1 . Tomando
w2=0 , escolhemos
Passo 4
Duas soluções fundamentais são
Logo a solução geral é
Passo 5
Impondo
X(0)=( -1,6)^T , temos
Da segunda componente
c1=6 . Da primeira
2cdot6 - c2 = -1 segue
c2=13 .