Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(ll2 & 4 -1 & 6) X, X(0)=binom-16

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com condição inicial
X' = A, X, A = 2 & 4-1 & 6, X(0)=-16
O conteúdo é resolução de sistema por autovalores, autovetores e vetor generalizado devido à multiplicidade algébrica maior que a geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = (2-lambda)(6-lambda) - 4cdot(-1) = lambda^2 -8lambda +12 +4 = lambda^2 -8lambda +16 = (lambda-4)^2
Logo o autovalor único é lambda=4 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Obtemos um autovetor para lambda=4 resolvendo
(A - 4I)v = 0 Longrightarrow -2 & 4-1 & 2v=0
Da primeira linha -2v1+4v2=0 vem v1=2v2. Tomando v2=1, escolhemos
v = 21
Como a multiplicidade geométrica é 1, buscamos um vetor generalizado w tal que
(A-4I)w = v
Escrevendo w=(w1,w2)^T, a equação dá -2w1+4w2=2, i.e.\ w1=2w2-1. Tomando w2=0, escolhemos
w = -10

Passo 4

Duas soluções fundamentais são
X1(t) = e^4tv, X2(t) = e^4t(v,t + w)
Logo a solução geral é
X(t) = c1,e^4tv + c2,e^4tl(v,t + wr) = e^4tl[(c1 + c2 t),v + c2,wr]

Passo 5

Impondo X(0)=( -1,6)^T, temos
X(0) = (c1,v + c2,w) = 2c1 - c2 c1 = -16
Da segunda componente c1=6. Da primeira 2cdot6 - c2 = -1 segue c2=13.

Resposta

X(t) = -1 + 26t[6pt]6 + 13t e^4t ]

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