Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0) X, X(0)=(l1 2 5)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs lineares
X' = A,X, A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0,
com condição inicial X(0) = (1,2,5)^T.
O conteúdo aqui é a resolução de sistemas lineares desacoplando variáveis e, no caso de pares acoplados, reduzindo a uma equação de segunda ordem.

Passo 2

Repare que a segunda componente satisfaz
ddtx2 = 1cdot x2,
que é uma EDO de primeira ordem independente de x1 e x3. A solução geral é
x2(t) = C,e^t
Como x2(0)=2, segue C=2 e portanto
x2(t) = 2e^t

Passo 3

As componentes x1 e x3 formam o sistema
x1' = x3, x3' = x1
Derivando a primeira equação e substituindo a segunda obtemos a EDO de segunda ordem
x1'' = x1

Passo 4

A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja solução é r = pm 1. Logo a solução geral para x1 é
x1(t) = C1 e^t + C2 e^-t
Daí
x3(t) = x1'(t) = C1 e^t - C2 e^-t

Passo 5

Usando as condições iniciais x1(0)=1 e x3(0)=5 temos o sistema
1 = C1 + C2, 5 = C1 - C2
Somando e subtraindo, obtém-se
C1 = 3, C2 = -2

Passo 6

Substituindo C1 e C2 nas expressões de x1 e x3, achamos
x1(t) = 3e^t - 2e^-t, x3(t) = 3e^t + 2e^-t

Resposta

X(t) = 3e^t - 2e^-t 2e^t 3e^t + 2e^-t

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