113_ ( ITA - 89 ) Considerando que a imagem da função arc sen é o intervalo \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] e i=\sqrt{-1}, podemos garantir que \operatorname{arcsen}\left|\frac{1+x i}{1-x i}\right| está definida:
a) Apenas para x=0 e vale \frac{\pi}{2}
b) Para todo \mathrm{x} \in \Re e vale \frac{\pi}{2}
c) Apenas para \mathrm{x} \in \Re tal que |\mathrm{x}|<1 e seu valor depende do valor de x .
d) Apenas para \mathrm{x} \in \Re tal que \mathrm{x} \leq-1 e seu valor depende do valor de x .
Passo 1
O enunciado dá que a imagem da função arc sen é o intervalo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] e que i=\sqrt{-1}. Pede-se analisar onde está definida a expressão \operatorname{arcsen}\left|\frac{1+x i}{1-x i}\right| quando x varia em \Re e, quando definida, qual é o seu valor. Informações relevantes fornecidas:
\text{Expressão a estudar: }\operatorname{arcsen}\left|\frac{1+ i x}{1- i x}\right|ã
\text{Variável: } \mathrm{x}\in\Reá
\text{Imagem de }\operatorname{arcsen}:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
Observação implícita: para que \operatorname{arcsen}(t) esteja definida como número real é necessário que t seja um número real no intervalo [-1,1].
Passo 2
Vamos calcular o módulo do número complexo \displaystyle \frac{1+ i x}{1- i x}. Lembrando duas propriedades fundamentais:
\text{(i) Para }z=a+ib\text{ com }a,b\in\Re,\quad |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
\text{(ii) Para números complexos }z_{1},z_{2}\text{ com }z_{2}\neq0,\quad \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.ú
Aplicando (i) ao numerador 1+i x e ao denominador 1-i x:
Precisamos verificar se há algum x\in\Re que anule o denominador 1-i x. Resolver 1-i x=0 dá i x=1\Rightarrow x=-i, que não é real. Portanto, para todo \mathrm{x}\in\Re o denominador é diferente de zero e a expressão está bem definida como número complexo antes de tomarmos o módulo.
Passo 4
Concluímos que, para todo \mathrm{x}\in\Re,
\left|\frac{1+i x}{1-i x}\right|=1.
Como este módulo é um número real em [0,\infty), e nesse caso exatamente 1, a entrada de \operatorname{arcsen} é o número 1. Sabendo que \operatorname{arcsen} está definida para argumentos reais em [-1,1] e que \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, temos
\operatorname{arcsen}(1)=\frac{\pi}{2}.
Portanto a expressão \operatorname{arcsen}\left|\frac{1+i x}{1-i x}\right| está definida para todo \mathrm{x}\in\Re e tem valor constante \frac{\pi}{2}.
Resposta
b) Para todo \mathrm{x}\in\Re e vale \frac{\pi}{2}