1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/2^n ≥ 1 + n/2

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para mostrar que a soma é maior ou igual a . Vamos usar conceitos de séries e inequações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que temos. Ela começa com 1 e adiciona frações cujos denominadores são potências de 2, ou seja, e assim por diante, até .

Passo 3

Vamos reescrever a soma de uma forma mais clara:
Isso é uma série geométrica onde cada termo é metade do anterior.

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada pela fórmula:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 5

No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Então, a soma é igual a:
Agora, vamos comparar isso com .

Passo 7

Queremos mostrar que:
Vamos simplificar a inequação:

Passo 8

Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso quer dizer que precisamos mostrar que .

Passo 9

Para valores de , , o que implica que . Assim:
E sabemos que para , já que .

Passo 10

Portanto, concluímos que:
O que significa que:

Resposta

A soma é maior ou igual a .

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