Passo 1
Então, temos um exercício que nos pede para mostrar que a soma
é maior ou igual a
. Vamos usar conceitos de séries e inequações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma que temos. Ela começa com 1 e adiciona frações cujos denominadores são potências de 2, ou seja,
e assim por diante, até
.
Passo 3
Vamos reescrever a soma de uma forma mais clara:
Isso é uma série geométrica onde cada termo é metade do anterior.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada pela fórmula:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 5
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Então, a soma
é igual a:
Agora, vamos comparar isso com
.
Passo 7
Queremos mostrar que:
Vamos simplificar a inequação:
Passo 8
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso quer dizer que precisamos mostrar que
.
Passo 9
Para valores de
,
, o que implica que
. Assim:
E sabemos que
para
, já que
.
Passo 10
Portanto, concluímos que:
O que significa que:
Resposta
A soma
é maior ou igual a
.