Prove por contradição: se a e b são números reais e a b = 0, então a = 0 ou b = 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar, por contradição, que se dois números reais e multiplicados dão zero ( ), então pelo menos um deles deve ser zero ( ou ). Para isso, vamos usar o método de prova por contradição, que envolve assumir o oposto do que queremos provar e mostrar que isso leva a uma contradição lógica. Precisaremos entender o que significa multiplicar números reais e como a contradição nos ajuda a chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos provar: se , então necessariamente ou . Para usar a prova por contradição, vamos supor o contrário: que , mas nenhum dos números é zero, ou seja, e .

Passo 3

Sabemos que, se , então podemos dividir ambos os lados da equação por , já que a divisão por um número diferente de zero é válida. Fazendo isso, temos:
No entanto, isso nos leva a , o que contraria nossa suposição inicial de que .

Passo 4

Essa contradição mostra que nossa suposição de que ambos e são diferentes de zero está errada. Portanto, se , pelo menos um dos números ou deve ser zero.

Resposta

Assim, provamos que se , então necessariamente ou .

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