Prove por contradição: se
e
são números reais e
, então
ou
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar, por contradição, que se dois números reais
e
multiplicados dão zero (
), então pelo menos um deles deve ser zero (
ou
). Para isso, vamos usar o método de prova por contradição, que envolve assumir o oposto do que queremos provar e mostrar que isso leva a uma contradição lógica. Precisaremos entender o que significa multiplicar números reais e como a contradição nos ajuda a chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos provar: se
, então necessariamente
ou
. Para usar a prova por contradição, vamos supor o contrário: que
, mas nenhum dos números é zero, ou seja,
e
.
Passo 3
Sabemos que, se
, então podemos dividir ambos os lados da equação
por
, já que a divisão por um número diferente de zero é válida. Fazendo isso, temos:
No entanto, isso nos leva a
, o que contraria nossa suposição inicial de que
.
Passo 4
Essa contradição mostra que nossa suposição de que ambos
e
são diferentes de zero está errada. Portanto, se
, pelo menos um dos números
ou
deve ser zero.
Resposta
Assim, provamos que se
, então necessariamente
ou
.