sumi=1^n(2 i-1)=n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma dos primeiros números da forma é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e séries matemáticas. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência e usar um pouco de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma que temos:
sumi=1^n (2i - 1)
Isso significa que vamos somar os termos quando (2 times 1 - 1) + (2 times 2 - 1) + (2 times 3 - 1) + dots + (2 times n - 1) vai de 1 até . Vamos expandir isso para ver melhor:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo dentro da soma:
2 times 1 - 1 = 1 2 times 2 - 1 = 3 2 times 3 - 1 = 5 vdots 2 times n - 1 = 2n - 1
Então, nossa soma fica:
1 + 3 + 5 + dots + (2n - 1)

Passo 4

Perceba que estamos somando os primeiros números ímpares. Há uma propriedade interessante que diz que a soma dos primeiros números ímpares é igual a . Vamos ver isso mais de perto.

Passo 5

Para confirmar, vamos somar os termos:
1 = 1^2 1 + 3 = 4 = 2^2 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 vdots sumi=1^n (2i - 1) = n^2
Por exemplo, se 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2 :

Passo 6

Para uma prova mais formal, podemos usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Cada termo Sn = n2 times (a1 + an) , onde a razão Sn = n2 times (1 + 2n - 1) = n2 times 2n = n^2 . A soma dos termos é dada por:
Onde e . Substituindo:

Resposta

Portanto, a soma é igual a .

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