Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma dos primeiros
números da forma
é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e séries matemáticas. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência e usar um pouco de álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma que temos:
Isso significa que vamos somar os termos quando
vai de 1 até
. Vamos expandir isso para ver melhor:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo dentro da soma:
Então, nossa soma fica:
Passo 4
Perceba que estamos somando os primeiros
números ímpares. Há uma propriedade interessante que diz que a soma dos primeiros
números ímpares é igual a
. Vamos ver isso mais de perto.
Passo 5
Para confirmar, vamos somar os termos:
Por exemplo, se
:
Passo 6
Para uma prova mais formal, podemos usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Cada termo
, onde a razão
. A soma dos
termos é dada por:
Onde
e
. Substituindo:
Resposta
Portanto, a soma
é igual a
.