Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que
. Isso está dentro do estudo das sequências de Fibonacci, que são uma série de números onde cada número é a soma dos dois anteriores. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades das sequências de Fibonacci e aplicar a indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição dos números de Fibonacci. A sequência começa assim:
E a regra para os próximos termos é:
Ou seja, cada número é a soma dos dois anteriores.
Passo 3
Agora, vamos usar a indução matemática para provar a identidade. A indução tem dois passos principais:
- Base da indução: Verificamos se a fórmula funciona para um valor inicial, geralmente
. - Passo indutivo: Assumimos que a fórmula funciona para um certo
e mostramos que, então, deve funcionar para .
Passo 4
Base da Indução (
):
Vamos verificar se a identidade vale para
.
Sabemos que:
Portanto:
E:
Então, para
, a identidade vale:
.
Passo 5
Passo Indutivo:
Vamos supor que a identidade é verdadeira para algum
, ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Vamos expandir o lado esquerdo da expressão para
:
Sabemos que
. Substituindo:
Distribuindo:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar os termos:
Lembrando que
(pela definição da sequência de Fibonacci, já que
), então:
Passo 8
Sabemos de uma identidade das sequências de Fibonacci que:
Portanto:
Isso mostra que, se a identidade vale para
, então também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
,
.