F(n+1) * F(n) - F(n-1) * F(n-2) = F(2n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que . Isso está dentro do estudo das sequências de Fibonacci, que são uma série de números onde cada número é a soma dos dois anteriores. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades das sequências de Fibonacci e aplicar a indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição dos números de Fibonacci. A sequência começa assim:
E a regra para os próximos termos é:
Ou seja, cada número é a soma dos dois anteriores.

Passo 3

Agora, vamos usar a indução matemática para provar a identidade. A indução tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificamos se a fórmula funciona para um valor inicial, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumimos que a fórmula funciona para um certo e mostramos que, então, deve funcionar para .

Passo 4

Base da Indução ( ):
Vamos verificar se a identidade vale para .
Sabemos que:
Portanto:
E:
Então, para , a identidade vale: .

Passo 5

Passo Indutivo:
Vamos supor que a identidade é verdadeira para algum , ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que:
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Vamos expandir o lado esquerdo da expressão para :
Sabemos que . Substituindo:
Distribuindo:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos:
Lembrando que (pela definição da sequência de Fibonacci, já que ), então:

Passo 8

Sabemos de uma identidade das sequências de Fibonacci que:
Portanto:
Isso mostra que, se a identidade vale para , então também vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo , .

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