115_ (ITA - 90) Considere as equações
, onde z é complexo. Seja
o conjunto das raízes da primeira equação e
o da segunda. Então
a)
é vazio;
b)
;
c)
possui apenas dois elementos distintos;
d)
é unitário;
e)
possui dois elementos
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: temos duas equações em
.
Primeira equação: .\n
Segunda equação: .\n
Sejam o conjunto das raízes da primeira equação e
o conjunto das raízes da segunda. O enunciado nos dá cinco alternativas (a)–(e) sobre as interseções e cardinalidades de
e
. Precisamos verificar quais dessas afirmativas são verdadeiras.
Informações relevantes dadas: é a unidade imaginária; nenhuma outra informação adicional é fornecida.
Primeira equação:
Segunda equação:
Sejam
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Entendendo e resolvendo a primeira equação
: método e conceito usado.
Sempre que temos uma equação do tipo com
complexo, é muito prático escrever
na forma polar/exponencial e usar a fórmula dos
-ésimos raízes (fórmula de De Moivre): se
então as raízes são
Sempre que temos uma equação do tipo
Aqui
é o módulo de
e
é um argumento de
(ângulo). Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Aplicando ao caso
. Primeiro escrevo
em forma exponencial:
(um argumento conveniente é
, pois
). O módulo é
. Assim as raízes cúbicas de
são, para
,
Estas são as três raízes distintas de
. Isso já nos dá informação importante:
tem exatamente três elementos distintos (não dois).
Passo 4
Escrever explicitamente as três raízes (útil para comparar com
). Para
:
Observação simpática: todos têm módulo
; nenhum é real (pois partes imaginárias não nulas), portanto
e possui 3 elementos distintos.]
Passo 5
Agora a segunda equação
. É um polinômio quadrático; para encontrar as raízes podemos usar fatoração ou fórmula quadrática. Uma verificação direta costuma ser rápida: testar
(porque apareceu em
). Calculo:
Expandindo
:
Somando tudo:
Logo
é raiz da quadrática.
Passo 6
Como
é raiz, o polinômio
é divisível por
. Faço a fatoração procurando
tal que
Multiplicando:
Comparando coeficientes com a expressão original, obtemos
(logo
) e
(que confere com
). Portanto
Assim as raízes de
são
e
.
Passo 7
Comparando
e
: o único elemento comum é
. Observações úteis:
-
pertence a ambos, então a interseção não é vazia (afirmação (a) é falsa). -
não é real, logo a interseção não está contida em (afirmação (b) é falsa). -
tem três elementos distintos (portanto (c) é falsa). - A interseção tem exatamente um elemento, ou seja, é unitária (afirmação (d) é verdadeira).
- A interseção não tem dois elementos (afirmação (e) é falsa).
Resposta
d)