115_ (ITA - 90) Considere as equações z^{3}=i e z^{2}+(2+i) z+2 i=0, onde z é complexo. Seja S_{1} o conjunto das raízes da primeira equação e S_{2} o da segunda. Então
a) S_{1} \cap S_{2} é vazio;
b) S_{1} \cap S_{2} \subset \mathrm{R};
c) S_{1} possui apenas dois elementos distintos;
d) S_{1} \cap S_{2} é unitário;
e) S_{1} \cap S_{2} possui dois elementos

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: temos duas equações em z\in\mathbb{C}.
Primeira equação: \;z^{3}=i.\n
Segunda equação: \;z^{2}+(2+i)z+2i=0.\n
Sejam S_{1} o conjunto das raízes da primeira equação e S_{2} o conjunto das raízes da segunda. O enunciado nos dá cinco alternativas (a)–(e) sobre as interseções e cardinalidades de S_{1} e S_{2}. Precisamos verificar quais dessas afirmativas são verdadeiras.
Informações relevantes dadas: \;i é a unidade imaginária; nenhuma outra informação adicional é fornecida.

Passo 2

Entendendo e resolvendo a primeira equação \;z^{3}=i: método e conceito usado.
Sempre que temos uma equação do tipo \;z^{n}=w com z complexo, é muito prático escrever w na forma polar/exponencial e usar a fórmula dos n-ésimos raízes (fórmula de De Moivre): se w = r e^{i\theta} então as raízes são
z_k = r^{1/n} e^{i(\theta/n + 2k\pi/n)},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui r é o módulo de w e \theta é um argumento de w (ângulo). Vou aplicar isso a w=i.

Passo 3

Aplicando ao caso \;i. Primeiro escrevo i em forma exponencial: i = e^{i\pi/2} (um argumento conveniente é \pi/2, pois \cos(\pi/2)=0,\\ \sin(\pi/2)=1). O módulo é 1. Assim as raízes cúbicas de i são, para k=0,1,2,
z_k = e^{i\left(\frac{\pi/2}{3} + \frac{2k\pi}{3}\right)} = e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right)}.
Estas são as três raízes distintas de \;z^{3}=i. Isso já nos dá informação importante: S_{1} tem exatamente três elementos distintos (não dois).

Passo 4

Escrever explicitamente as três raízes (útil para comparar com S_{2}). Para k=0,1,2:
\begin{aligned} z_{0} &= e^{i\pi/6} = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\tfrac{1}{2},\\[4pt] z_{1} &= e^{i5\pi/6} = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\tfrac{1}{2},\\[4pt] z_{2} &= e^{i3\pi/2} = \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -i. \end{aligned}
Observação simpática: todos têm módulo 1; nenhum é real (pois partes imaginárias não nulas), portanto S_{1}\not\subset\mathbb{R} e possui 3 elementos distintos.]

Passo 5

Agora a segunda equação \;z^{2}+(2+i)z+2i=0. É um polinômio quadrático; para encontrar as raízes podemos usar fatoração ou fórmula quadrática. Uma verificação direta costuma ser rápida: testar z=-i (porque apareceu em S_{1}). Calculo:
(-i)^{2}+(2+i)(-i)+2i = -1 + (2+i)(-i) + 2i.
Expandindo (2+i)(-i):
(2+i)(-i) = -2i - i^{2} = -2i +1 = 1-2i.
Somando tudo:
-1 + (1-2i) + 2i = (-1+1) + (-2i+2i)=0.
Logo z=-i é raiz da quadrática.

Passo 6

Como z=-i é raiz, o polinômio \;z^{2}+(2+i)z+2i é divisível por (z+i). Faço a fatoração procurando a tal que
z^{2}+(2+i)z+2i = (z+i)(z+a).
Multiplicando:
(z+i)(z+a) = z^{2} + (a+i)z + i a.
Comparando coeficientes com a expressão original, obtemos a+i = 2+i (logo a=2) e i a = 2i (que confere com a=2). Portanto
z^{2}+(2+i)z+2i = (z+i)(z+2).
Assim as raízes de S_{2} são \;z=-i e \;z=-2.

Passo 7

Comparando S_{1}=\{e^{i\pi/6},\\ e^{i5\pi/6},\\\ -i\} e S_{2}=\{-i,\\\ -2\}: o único elemento comum é -i. Observações úteis:
  • -i pertence a ambos, então a interseção não é vazia (afirmação (a) é falsa).
  • -i não é real, logo a interseção não está contida em \mathbb{R} (afirmação (b) é falsa).
  • S_{1} tem três elementos distintos (portanto (c) é falsa).
  • A interseção tem exatamente um elemento, ou seja, é unitária (afirmação (d) é verdadeira).
  • A interseção não tem dois elementos (afirmação (e) é falsa).

Resposta

d)

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