114_ ( ITA - 89 ) O produto dos números complexos \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi}, que têm módulo igual a \sqrt{2} e se encontram sobre a reta y=2 x-1 contida no plano complexo, é igual a:
a) \frac{6}{5}-\frac{8}{5} i
b) \frac{4}{5}-\frac{2}{5} i
c) -\frac{8}{5}-\frac{8}{5} i
d) 2+2 i
e) Não existe nenhum número complexo que pertença à reta y=2 x-1 e cujo módulo seja \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o produto dos números complexos z=x+yi que satisfazem duas condições: têm módulo igual a \sqrt{2} e pertencem à reta y=2x-1. Informações dadas:
\,1.\, A forma geral do número complexo é z=x+yi (com x,y reais).\n
\,2.\, O módulo é \lvert z\rvert=\sqrt{2}.\n
\,3.\, Os pontos (x,y) pertencem à reta y=2x-1.\n
O objetivo final: calcular o produto dos complexos que satisfazem essas condições.

Passo 2

Convertendo a condição do módulo em equação: o módulo de z=x+yi é \lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A condição \lvert z\rvert=\sqrt{2} equivale a
x^{2}+y^{2}=2.
Como os pontos estão na reta y=2x-1, vamos substituir y por 2x-1 na equação do círculo.

Passo 3

Substituindo y=2x-1 em x^{2}+y^{2}=2 obtemos:
x^{2}+(2x-1)^{2}=2.
Desenvolvendo,
x^{2}+4x^{2}-4x+1=2.
Juntando termos semelhantes,
5x^{2}-4x-1=0.
Esta é uma equação quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot5\cdot(-1)=16+20=36.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2\cdot5}=\frac{4\pm6}{10}.
Portanto as soluções para x são
x_{1}=\frac{4+6}{10}=1,\qquad x_{2}=\frac{4-6}{10}=-\frac{1}{5}.

Passo 4

Agora achamos os correspondentes y usando y=2x-1.
Para x_{1}=1:
y_{1}=2\cdot1-1=1,
logo z_{1}=1+i.
Para x_{2}=-\frac{1}{5}:
y_{2}=2\left(-\frac{1}{5}\right)-1=-\frac{2}{5}-1=-\frac{7}{5},
logo z_{2}=-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i.
(Verificação rápida: \left(-\tfrac{1}{5}\right)^{2}+\left(-\tfrac{7}{5}\right)^{2}=\tfrac{1}{25}+\tfrac{49}{25}=\tfrac{50}{25}=2, ok.)

Passo 5

Calculamos o produto z_{1}z_{2}. Primeiro escrevemos z_{2} com denominador comum:
z_{2}=\frac{-1-7i}{5}.
Então
z_{1}z_{2}=(1+i)\cdot\frac{-1-7i}{5}=\frac{(1+i)(-1-7i)}{5}.
Multiplicando no numerador:
(1+i)(-1-7i)= -1-7i -i -7i^{2} = -1-8i -7(-1) = -1-8i+7 = 6-8i.
Portanto
z_{1}z_{2}=\frac{6-8i}{5}=\frac{6}{5}-\frac{8}{5}i.

Passo 6

Conclusão: existem dois números complexos que satisfazem as condições e o produto deles é \dfrac{6}{5}-\dfrac{8}{5}i. Essa correspondência bate com a alternativa (a).

Resposta

a) \dfrac{6}{5}-\dfrac{8}{5}i

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