114_ ( ITA - 89 ) O produto dos números complexos
, que têm módulo igual a
e se encontram sobre a reta
contida no plano complexo, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e) Não existe nenhum número complexo que pertença à reta
e cujo módulo seja
.
a)
b)
c)
d)
e) Não existe nenhum número complexo que pertença à reta
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o produto dos números complexos
que satisfazem duas condições: têm módulo igual a
e pertencem à reta
. Informações dadas:
A forma geral do número complexo é
(com
reais).\n
O módulo é
.\n
Os pontos
pertencem à reta
.\n
O objetivo final: calcular o produto dos complexos que satisfazem essas condições.
O objetivo final: calcular o produto dos complexos que satisfazem essas condições.
Passo 2
Convertendo a condição do módulo em equação: o módulo de
é
. A condição
equivale a
Como os pontos estão na reta
, vamos substituir
por
na equação do círculo.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos:
Desenvolvendo,
Juntando termos semelhantes,
Esta é uma equação quadrática. Calculamos o discriminante:
As raízes são
Portanto as soluções para
são
Passo 4
Agora achamos os correspondentes
usando
.
Para
:
logo
.
Para
:
logo
.
(Verificação rápida:
, ok.)
Passo 5
Calculamos o produto
. Primeiro escrevemos
com denominador comum:
Então
Multiplicando no numerador:
Portanto
Passo 6
Conclusão: existem dois números complexos que satisfazem as condições e o produto deles é
. Essa correspondência bate com a alternativa (a).
Resposta
a)