116_ (ITA - 90 ) A igualdade 1+|z|=|1+z|, onde z \in \mathrm{C}, é satisfeita:
a) Para todo \mathrm{z} \in \mathrm{C} tal que \operatorname{Rez}=0 e \mathrm{Imz}<0;
b) Para todo \mathrm{z} \in \mathrm{C} tal que \operatorname{Rez} \geq 0 e \mathrm{Imz}=0
c) Para todo \mathrm{z} \in \mathrm{C} tal que |\mathrm{z}|=1;
d) Para todo z \in C tal que I m z=0
e) Para todo \mathrm{z} \in \mathrm{C} tal que |\mathrm{z}|<1
Nota: C denota o conjunto dos números complexos, Rez a parte real de z e Imz a parte imaginária de z .

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
1+|z| = |1+z|
onde z é um número complexo. As opções fornecidas são:
a) \operatorname{Re}z=0 e \operatorname{Im}z<0;
b) \operatorname{Re}z \ge 0 e \operatorname{Im}z=0;
c) |z|=1;
d) \operatorname{Im}z=0;
e) |z|<1.
O que precisamos é decidir qual (uma e exatamente uma) dessas alternativas descreve todos os z que satisfazem a igualdade dada.

Passo 2

Vamos manipular a igualdade de forma algébrica. Como |z|\ge 0 e |1+z|\ge 0, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Assim escrevemos
(1+|z|)^2 = |1+z|^2.

Passo 3

Expandindo os dois lados:
(1+|z|)^2 = 1 + 2|z| + |z|^2.
Para o lado direito usamos a fórmula do módulo ao quadrado de um número complexo: se z = x + iy com x=\operatorname{Re}z e y=\operatorname{Im}z, então
|1+z|^2 = (1+x)^2 + y^2.
Além disso |z|^2 = x^2 + y^2. Substituindo essas expressões na igualdade obtemos
1 + 2|z| + (x^2+y^2) = (1+x)^2 + y^2.

Passo 4

Simplificando a igualdade anterior: cancele 1 dos dois lados e cancele y^2 dos dois lados (aparecem em ambos), e observe que x^2+y^2 = |z|^2. Resta
2|z| + x^2 = 2x + x^2.
Cancelando x^2 em ambos os lados obtemos
2|z| = 2x,
ou seja
|z| = x = \operatorname{Re}z.

Passo 5

Analise agora a equação |z| = \operatorname{Re}z. Primeiro, |z|\ge 0 implica \operatorname{Re}z \ge 0. Em seguida, elevando ao quadrado ambos os lados:
|z|^2 = (\operatorname{Re}z)^2.
Mas |z|^2 = (\operatorname{Re}z)^2 + (\operatorname{Im}z)^2. Portanto
(\operatorname{Re}z)^2 + (\operatorname{Im}z)^2 = (\operatorname{Re}z)^2,
o que implica
(\operatorname{Im}z)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{Im}z = 0.
Juntando com \operatorname{Re}z \ge 0, concluímos que os z que satisfazem a igualdade são exatamente os números reais não-negativos (o semieixo real [0,+\infty)).

Passo 6

Verificação por exemplos rápidos (para ganhar intuição e eliminar alternativas):
  • Tome z=2: 1+|2|=3 e |1+2|=3 ok.
  • Tome z=-2: 1+|{-2}|=3 e |1-2|=1 não ok (logo d) e c) e e) são falsas em geral).
  • Tome z=i (tem |z|=1 ): 1+1=2 e |1+i|=\sqrt{2} não ok (c) falsa).
    Portanto a alternativa que descreve exatamente “Im z=0 e Re z \ge 0” é a alternativa (b).

Resposta

(b) Para todo z\in\mathbb{C} tal que \operatorname{Re}z \ge 0 e \operatorname{Im}z=0.

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