116_ (ITA - 90 ) A igualdade
, onde
, é satisfeita:
a) Para todo
tal que
e
;
b) Para todo
tal que
e
c) Para todo
tal que
;
d) Para todo
tal que
e) Para todo
tal que
Nota: C denota o conjunto dos números complexos, Rez a parte real de z e Imz a parte imaginária de z .
a) Para todo
b) Para todo
c) Para todo
d) Para todo
e) Para todo
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
onde
é um número complexo. As opções fornecidas são:
a) e
;
b) e
;
c) ;
d) ;
e) .
O que precisamos é decidir qual (uma e exatamente uma) dessas alternativas descreve todos os que satisfazem a igualdade dada.
a)
b)
c)
d)
e)
O que precisamos é decidir qual (uma e exatamente uma) dessas alternativas descreve todos os
Passo 2
Vamos manipular a igualdade de forma algébrica. Como
e
, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Assim escrevemos
Passo 3
Expandindo os dois lados:
Para o lado direito usamos a fórmula do módulo ao quadrado de um número complexo: se
com
e
, então
Além disso
. Substituindo essas expressões na igualdade obtemos
Passo 4
Simplificando a igualdade anterior: cancele
dos dois lados e cancele
dos dois lados (aparecem em ambos), e observe que
. Resta
Cancelando
em ambos os lados obtemos
ou seja
Passo 5
Analise agora a equação
. Primeiro,
implica
. Em seguida, elevando ao quadrado ambos os lados:
Mas
. Portanto
o que implica
Juntando com
, concluímos que os
que satisfazem a igualdade são exatamente os números reais não-negativos (o semieixo real
).
Passo 6
Verificação por exemplos rápidos (para ganhar intuição e eliminar alternativas):
- Tome
: e ok. - Tome
: e não ok (logo d) e c) e e) são falsas em geral). - Tome
(tem ): e não ok (c) falsa).
Portanto a alternativa que descreve exatamente “Im=0 e Re ” é a alternativa (b).
Resposta
(b) Para todo
tal que
e
.