9-117 Simplify the Navier-Stokes equation as much as possible for the case of incompressible hydrostatics, with gravity acting in the negative
-direction. Begin with the incompressible vector form of the Navier-Stokes equation, explain how and why some terms can be simplified, and give your final result as a vector equation. Answer:
Passo 1
O enunciado pede: simplificar a equação de Navier–Stokes no caso de hidroestática incompressível, com a gravidade apontando para baixo (direção negativa de
). As informações dadas e o que se busca são:
- Começar da forma vetorial incompressível da equação de Navier–Stokes.
- Usar as hipóteses de hidroestática e incompressibilidade para eliminar termos.
- Fornecer o resultado final como uma equação vetorial envolvendo o gradiente de pressão e a gravidade.
Dados relevantes que vou usar:
- A forma geral (incompressível) da equação de Navier–Stokes, com densidade
, viscosidade dinâmica , campo de velocidade , pressão e campo de aceleração da gravidade , é
- A gravidade atua na direção negativa de
; vou usar a notação com . - A incompressibilidade implica
(e, para o tratamento usual da hidroestática, a densidade é considerada constante).
Passo 2
O que significa “hidroestática incompressível” e as consequências imediatas para os termos da equação:
- Hidroestática: fluido em equilíbrio mecânico, isto é, sem movimento macroscópico. Em equações: o campo de velocidades é nulo em todo lugar e tempo,
- Incompressível: além de
, para muitos problemas de hidroestática adotamos a densidade constante . Isso facilita manipulações e integração.
Essas hipóteses vão anular várias parcelas da equação de Navier–Stokes — a próxima etapa explica cada uma.
Passo 3
Análise termo a termo e razão para anular cada um:
- Termo de derivada temporal:
.
- Se
em todos os tempos, então . Logo esse termo é nulo.
- Termo convectivo (não linear):
.
- Novamente, com
esse termo também é zero (produto com nulo).
- Termo viscoso (difusão de momento):
.
- Se
, todas as derivadas espaciais de são zero, então e o termo viscoso desaparece.
- Sobra o termo de pressão
e a força de volume , que permanecem em equilíbrio estático.
Observação didática rápida: outra possibilidade é admitir equilíbrio estacionário sem que
seja estritamente zero, mas então, para não haver aceleração e sem escoamento, os termos de aceleração material também somam zero; para hidroestática usualmente toma-se
para simplificar e tornar claro o balanço pressão-força peso.
Passo 4
Substituindo as parcelas nulas na equação de Navier–Stokes e mantendo apenas os termos que restam, obtemos a condição de equilíbrio estático:
Essa equação significa que o gradiente de pressão equilibra exatamente a força de volume (peso do fluido) por unidade de volume. Reescrevendo de forma rearranjada (forma mais usada para interpretar componentes),
Passo 5
Agora insiro a direção explícita da gravidade, que foi dada: a gravidade aponta para baixo, na direção negativa de
. Escrevo
com
sendo a aceleração gravitacional e
o versor positivo de
. Substituindo em
dá, componente a componente:
A interpretação física: a pressão não varia horizontalmente (em
e
) e varia linearmente com
, com declive
.
Passo 6
Integração simples da componente
para obter a dependência vertical da pressão (aqui é um pequeno reforço didático que costuma cair em prova):
- Integrando
em ,
onde
é uma constante de integração determinada por uma condição de contorno (por exemplo, valor da pressão na superfície livre). Isso é a famosa lei da pressão hidrostática.
Passo 7
Resumo final do raciocínio (sem repetir a forma final vetorial, porque a resposta final exige que eu a coloque na seção própria):
- Partimos da equação de Navier–Stokes incompressível completa.
- Em hidroestática (
) todos os termos de aceleração e viscosidade desaparecem. - Resta o balanço entre gradiente de pressão e força de volume por gravidade.
- Usando
obtemos a relação de que o gradiente de pressão tem apenas componente vertical igual a , levando à expressão integrada .