9-117 Simplify the Navier-Stokes equation as much as possible for the case of incompressible hydrostatics, with gravity acting in the negative z-direction. Begin with the incompressible vector form of the Navier-Stokes equation, explain how and why some terms can be simplified, and give your final result as a vector equation. Answer: \vec{\nabla} P=-\rho g \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a equação de Navier–Stokes no caso de hidroestática incompressível, com a gravidade apontando para baixo (direção negativa de z). As informações dadas e o que se busca são:
  • Começar da forma vetorial incompressível da equação de Navier–Stokes.
  • Usar as hipóteses de hidroestática e incompressibilidade para eliminar termos.
  • Fornecer o resultado final como uma equação vetorial envolvendo o gradiente de pressão e a gravidade.
Dados relevantes que vou usar:
  • A forma geral (incompressível) da equação de Navier–Stokes, com densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, campo de velocidade \vec{u}(\vec{x},t), pressão P e campo de aceleração da gravidade \vec{g}, é
\rho\!\left(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{u}\right) = -\vec{\nabla}P + \mu \nabla^{2}\vec{u} + \rho\vec{g}.
  • A gravidade atua na direção negativa de z; vou usar a notação \vec{g}=-g\vec{k} com g>0.
  • A incompressibilidade implica \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=0 (e, para o tratamento usual da hidroestática, a densidade \rho é considerada constante).

Passo 2

O que significa “hidroestática incompressível” e as consequências imediatas para os termos da equação:
  • Hidroestática: fluido em equilíbrio mecânico, isto é, sem movimento macroscópico. Em equações: o campo de velocidades é nulo em todo lugar e tempo,
\vec{u}(\vec{x},t)=\vec{0}.
  • Incompressível: além de \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=0, para muitos problemas de hidroestática adotamos a densidade constante \rho=\text{constante}. Isso facilita manipulações e integração.
Essas hipóteses vão anular várias parcelas da equação de Navier–Stokes — a próxima etapa explica cada uma.

Passo 3

Análise termo a termo e razão para anular cada um:
  1. Termo de derivada temporal: \displaystyle \rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}.
  • Se \vec{u}=\vec{0} em todos os tempos, então \partial \vec{u}/\partial t=\vec{0}. Logo esse termo é nulo.
  1. Termo convectivo (não linear): \displaystyle \rho(\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{u}.
  • Novamente, com \vec{u}=\vec{0} esse termo também é zero (produto com \vec{u} nulo).
  1. Termo viscoso (difusão de momento): \displaystyle \mu \nabla^{2}\vec{u}.
  • Se \vec{u}=\vec{0}, todas as derivadas espaciais de \vec{u} são zero, então \nabla^{2}\vec{u}=\vec{0} e o termo viscoso desaparece.
  1. Sobra o termo de pressão -\vec{\nabla}P e a força de volume \rho\vec{g}, que permanecem em equilíbrio estático.
Observação didática rápida: outra possibilidade é admitir equilíbrio estacionário sem que \vec{u} seja estritamente zero, mas então, para não haver aceleração e sem escoamento, os termos de aceleração material também somam zero; para hidroestática usualmente toma-se \vec{u}=\vec{0} para simplificar e tornar claro o balanço pressão-força peso.

Passo 4

Substituindo as parcelas nulas na equação de Navier–Stokes e mantendo apenas os termos que restam, obtemos a condição de equilíbrio estático:
-\vec{\nabla}P + \rho\vec{g} = \vec{0}.
Essa equação significa que o gradiente de pressão equilibra exatamente a força de volume (peso do fluido) por unidade de volume. Reescrevendo de forma rearranjada (forma mais usada para interpretar componentes),
\vec{\nabla}P = \rho\vec{g}.

Passo 5

Agora insiro a direção explícita da gravidade, que foi dada: a gravidade aponta para baixo, na direção negativa de z. Escrevo
\vec{g} = -g\vec{k},
com g>0 sendo a aceleração gravitacional e \vec{k} o versor positivo de z. Substituindo em \vec{\nabla}P = \rho\vec{g} dá, componente a componente:
\frac{\partial P}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\rho(-g)=-\rho g.
A interpretação física: a pressão não varia horizontalmente (em x e y) e varia linearmente com z, com declive -\rho g.

Passo 6

Integração simples da componente z para obter a dependência vertical da pressão (aqui é um pequeno reforço didático que costuma cair em prova):
  • Integrando \partial P/\partial z = -\rho g em z,
P(z) = -\rho g z + C,
onde C é uma constante de integração determinada por uma condição de contorno (por exemplo, valor da pressão na superfície livre). Isso é a famosa lei da pressão hidrostática.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (sem repetir a forma final vetorial, porque a resposta final exige que eu a coloque na seção própria):
  • Partimos da equação de Navier–Stokes incompressível completa.
  • Em hidroestática ( \vec{u}=\vec{0}) todos os termos de aceleração e viscosidade desaparecem.
  • Resta o balanço entre gradiente de pressão e força de volume por gravidade.
  • Usando \vec{g}=-g\vec{k} obtemos a relação de que o gradiente de pressão tem apenas componente vertical igual a -\rho g, levando à expressão integrada P(z)=-\rho g z + C.

Resposta

\vec{\nabla} P=-\rho g \vec{k}

Exercícios relacionados