9-130 Which choice is not correct regarding the NavierStokes equation?
(a) Nonlinear equation
(b) Unsteady equation
(c) Second-order equation
(d) Partial differential equation

Passo 1

O enunciado pergunta: “Which choice is not correct regarding the Navier–Stokes equation?” e dá quatro alternativas:
(a) Nonlinear equation
(b) Unsteady equation
(c) Second-order equation
(d) Partial differential equation
Logo, preciso verificar cada afirmação e identificar qual delas NÃO é correta em geral sobre a equação de Navier–Stokes.

Passo 2

Vou escrever a forma comum (incompressível, para um fluido newtoniano) da equação de Navier–Stokes para ficar claro o que cada termo faz. Há também a equação de conservação de massa (continuidade):
\nabla\cdot \mathbf{u}=0.
A equação de momentum é
\rho\!\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^{2}\mathbf{u} + \mathbf{f},
onde explico cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido (constante para incompressível).
  • \mathbf{u}(\mathbf{x},t) é o vetor velocidade, função do espaço \mathbf{x} e do tempo t.
  • \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} é a derivada temporal parcial (variação local da velocidade no tempo).
  • \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} é o termo convectivo (aceleração convectiva), que representa transporte não linear da velocidade.
  • -\nabla p é o gradiente de pressão (força por unidade de volume).
  • \mu \nabla^{2}\mathbf{u} é o termo viscoso (viscous diffusion), com \nabla^{2} sendo o laplaciano espacial.
  • \mathbf{f} são forças volumétricas externas (ex.: gravidade).

Passo 3

Análise da alternativa (a): “Nonlinear equation”.
O termo \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} multiplica componentes da velocidade entre si (produto entre \mathbf{u} e suas derivadas), portanto a equação é não linear. Em outras palavras, a superposição de soluções não vale. Conclusão: (a) é correta — Navier–Stokes é não linear.

Passo 4

Análise da alternativa (b): “Unsteady equation”.
A equação geral contém o termo temporal \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}, o que permite descrever escoamentos não estacionários (unsteady, dependentes do tempo). Porém, isso não obriga que todo problema Navier–Stokes deva ser não estacionário: para um escoamento estacionário impõe-se \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0 e então obtém-se a forma estacionária (steady) da equação. Portanto a propriedade “unsteady equation” não é uma característica intrínseca e sempre verdadeira — a equação admite tanto formas unsteady quanto steady. Assim a afirmação (b) lida como uma afirmação universal (“é uma equação não estacionária”) e, por isso, está incorreta se interpretada como algo sempre verdadeiro.

Passo 5

Análise da alternativa (c): “Second-order equation”.
A equação contém \nabla^{2}\mathbf{u}, o laplaciano espacial, que envolve derivadas de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais. Em termos de ordem das derivadas espaciais, é uma equação de segunda ordem. Observação: ela é de primeira ordem em tempo (ou pode ser estacionária, sem termo temporal), mas isto não contradiz o fato de que é de segunda ordem no espaço. Em contextos de classificação por ordem espacial, a descrição “second-order equation” é correta.

Passo 6

Análise da alternativa (d): “Partial differential equation”.
A equação envolve derivadas parciais em relação ao espaço ( \nabla, \nabla^2) e possivelmente em relação ao tempo ( \partial/\partial t). Logo é claramente uma equação diferencial parcial. Assim (d) é correta.

Passo 7

Síntese final: (a) é correta (não linear), (c) é correta (segunda ordem em espaço), (d) é correta (PDE). A alternativa (b), como escrita, afirma algo que não é sempre verdadeiro (ela pode ser unsteady, mas também pode ser steady), portanto é a que NÃO é correta como uma propriedade universal da equação de Navier–Stokes.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados