se
e
, caso contrário. Determine as densidades marginais de
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar as densidades marginais de
,
e
, dado que a densidade conjunta é
Conteúdo: Probabilidade contínua, densidade conjunta e marginais. O que vamos precisar:
- Saber que a densidade marginal de
é
. - Fazer a mesma coisa para
e . - Usar integração simples termo a termo.
Passo 2
Começando por
. Vamos escrever
válido pra
. Se
estiver fora de
, a densidade margina é zero.
Passo 3
Puxamos o fator
pra fora da integral e integramos termo a termo.
- Para
: - Para
: simetricamente dá também . - Para
:
Então a parte
gera
.
Passo 4
Agora a parte
:
-
integrado sobre dá . -
dá . -
dá também.
Somando:.
E o “7” dá
Passo 5
Juntando tudo dentro do colchete e multiplicando
:
para
, e zero fora.
Por simetria,
e
têm exatamente a mesma forma.
Resposta
f_X(x)=
f_Y(y)=
f_Z(z)=