f(x, y, z)=116[4(x y+x z+y z)+4(x+y+z)+7]
se x, y, z in[0,1] e f(x, y, z)=0, caso contrário. Determine as densidades marginais de X, Y e Z.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as densidades marginais de f(x,y,z)= 116l[4(xy+xz+yz)+4(x+y+z)+7r],&se x,y,zin[0,1], 0,&caso contrário , e , dado que a densidade conjunta é
á
Conteúdo: Probabilidade contínua, densidade conjunta e marginais. O que vamos precisar:
  • Saber que a densidade marginal de é
    .
  • Fazer a mesma coisa para e .
  • Usar integração simples termo a termo.

Passo 2

Começando por fX(x)=integral0^1integral0^1 116l[4(xy+xz+yz)+4(x+y+z)+7r],dy,dz, . Vamos escrever
válido pra . Se estiver fora de , a densidade margina é zero.

Passo 3

Puxamos o fator integral0^1integral0^1 4xy,dy,dz =4xl(integral0^1y,dyr)l(integral0^1dzr) =4xcdot12cdot1 =2x pra fora da integral e integramos termo a termo.
  1. Para integral0^1!integral0^1 4yz,dy,dz =4l(integral0^1y,dyr)l(integral0^1z,dzr) =4cdot12cdot12 =1 :
  2. Para : simetricamente dá também .
  3. Para :
Então a parte gera .

Passo 4

Agora a parte 7cdotintegral0^1!integral0^1 dy,dz=7cdot1cdot1=7 :
  • integrado sobre .
  • .
  • também.
    Somando: .
E o “7” dá

Passo 5

Juntando tudo dentro do colchete e multiplicando fX(x) =116l[(4x+1)+(4x+4)+7r] =116l[8x+12r] =2x+34, :
para , e zero fora.
Por simetria, e têm exatamente a mesma forma.

Resposta

f_X(x)=
dfrac2x+34,&0<= x<=1, 0,&caso contrário, á
f_Y(y)=
dfrac2y+34,&0<= y<=1, 0,&caso contrário, á
f_Z(z)=
dfrac2z+34,&0<= z<=1, 0,&caso contrário á

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