Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k x^2(4-y), xá
Encontre o valor de k.

Passo 1

Beleza, temos aqui uma variável aleatória bidimensional f(x,y)= k,x^2,(4-y),& x com função densidade
á
O que queremos é achar o valor de que faz com que a área total (integral dupla) de seja 1 – isso se chama “normalizar” a densidade. Para resolver, vamos usar integrais duplas sobre a região definida por e .

Passo 2

Primeiro a gente monta a condição de normalização:
integral duplaR f(x,y),dy,dx ;=;1,
onde integralx=0^2!integraly=x^2x k,x^2,(4-y);dy;dx ;=;1 . Isso vira
Aqui a gente usou que, pra cada entre 0 e 2, o varia de até .

Passo 3

Agora fazemos a integral interna em integraly=x^2x(4-y),dy :
l[4y - tfracy^22r]y=x^y=2x = l(4cdot2x - tfrac(2x)^22r);-;l(4x - tfracx^22r) = (8x - 2x^2) - l(4x - tfracx^22r)
Para lembrar: 8x - 2x^2 - 4x + tfracx^22 = 4x - tfrac3x^22 .
Então
Fazendo as contas:

Passo 4

Substituindo de volta na integral e puxando o integral0^2 k,x^2!l(4x - tfrac3x^22r),dx = kintegral0^2l(4x^3 - tfrac32x^4r),dx :
integral 4x^3,dx = x^4, integral tfrac32x^4,dx = tfrac32cdottfracx^55 = tfrac3x^510
Integramos termo a termo:
kl[x^4 - tfrac3x^510r]0^2 = kl(2^4 - tfrac3cdot2^510r) = kl(16 - tfrac9610r) = kl(16 - 9,6r) = 6,4,k
Logo
Esse resultado deve ser igual a 1.

Passo 5

Então a equação de normalização é
6,4,k = 1 Longrightarrow k = 16,4 = 532

Resposta

boxedk = tfrac532

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