Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
Encontre o valor de
.
Passo 1
Beleza, temos aqui uma variável aleatória bidimensional
com função densidade
O que queremos é achar o valor de
que faz com que a área total (integral dupla) de
seja 1 – isso se chama “normalizar” a densidade. Para resolver, vamos usar integrais duplas sobre a região definida por
e
.
Passo 2
Primeiro a gente monta a condição de normalização:
onde
. Isso vira
Aqui a gente usou que, pra cada
entre 0 e 2, o
varia de
até
.
Passo 3
Agora fazemos a integral interna em
:
Para lembrar:
.
Então
Então
Fazendo as contas:
Passo 4
Substituindo de volta na integral e puxando o
:
Integramos termo a termo:
Logo
Esse resultado deve ser igual a 1.
Passo 5
Então a equação de normalização é