Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
e
são independentes?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável bidimensional
com densidade
A pergunta é se
e
são independentes. Isso cai em Probabilidade, mais especificamente em variáveis aleatórias conjuntas e independência. Para resolver, a gente vai precisar:
- Entender o que é independência de variáveis contínuas (definição via densidades).
- Calcular as densidades marginais
e . - Verificar se
.
Passo 2
Teoria que vamos usar: em variáveis contínuas,
e
são independentes se, para todo
,
onde
Ou seja, a densidade conjunta fatoriza nas marginais.
Passo 3
Vamos achar
. Como
para
, a integral é só de
a
:
Fazendo a integral em
:
Logo,
Passo 4
Agora
. De modo análogo,
para
.
Passo 5
Multiplicando as marginais:
que é justamente a densidade conjunta
quando
.
Resposta
Sim,
e
são independentes, porque a densidade conjunta fatoriza nas densidades marginais.