Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l e^-(x+y), x>0, y>0 0, caso contrário á
X e Y são independentes?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável bidimensional f(x,y)= e^-(x+y), & x>0,;y>0, 0, &caso contrário com densidade
á
A pergunta é se e são independentes. Isso cai em Probabilidade, mais especificamente em variáveis aleatórias conjuntas e independência. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender o que é independência de variáveis contínuas (definição via densidades).
  2. Calcular as densidades marginais e .
  3. Verificar se .

Passo 2

Teoria que vamos usar: em variáveis contínuas, f(x,y) = fX(x),times,fY(y), e fX(x) = integral-infty^+infty f(x,y),dy e fY(y) = integral-infty^+infty f(x,y),dx são independentes se, para todo ,
onde
Ou seja, a densidade conjunta fatoriza nas marginais.

Passo 3

Vamos achar fX(x) = integral-infty^+infty f(x,y),dy = integral0^+infty e^-(x+y),dy . Como integral0^+infty e^-(x+y),dy = e^-xintegral0^+infty e^-y,dy = e^-xl[-e^-yr]0^infty = e^-x,(0 - (-1)) = e^-x para fX(x) = e^-x, x>0 , a integral é só de a :
Fazendo a integral em :
Logo,

Passo 4

Agora fY(y) = integral-infty^+infty f(x,y),dx = integral0^+infty e^-(x+y),dx = e^-yintegral0^+infty e^-x,dx = e^-y,(1) = e^-y, . De modo análogo,
para .

Passo 5

Multiplicando as marginais:
fX(x),fY(y) = l(e^-xr),l(e^-yr) = e^-(x+y),
que é justamente a densidade conjunta quando .

Resposta

Sim, e são independentes, porque a densidade conjunta fatoriza nas densidades marginais.

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