For each of the listed equations, write down the equation in vector form and decide if it is linear or nonlinear. If it is nonlinear, which term(s) make it so?
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Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada equação listada:
  • escrever a equação em forma vetorial;
  • decidir se a equação é linear ou não linear; se não for linear, indicar qual(is) termo(s) a(s) tornam não linear.
Informações relevantes necessárias (mas que não foram fornecidas): a lista das equações individuais que devo analisar. Sem essas equações concretas não há como escrever a forma vetorial específica nem dar a classificação pedida para cada uma.
Como não foram fornecidas as equações, não posso produzir respostas específicas. Vou, no entanto, explicar passo a passo como proceder em qualquer questão desse tipo, de modo que na prova você consiga transformar qualquer sistema em forma vetorial e decidir imediatamente sobre linearidade. Isso serve como “manual de bolso” para aplicar às equações que aparecerem.

Passo 2

O que significa “escrever em forma vetorial”?
  • Se tiver um sistema de equações em variáveis escalares (por exemplo \,x_1,x_2,\dots,x_n\)), a forma vetorial agrupa essas variáveis num vetor coluna \[\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{pmatrix}.
  • Para um sistema linear algébrico do tipo
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1,\\[4pt] \vdots\\[4pt] a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n, \end{cases}
a forma vetorial é
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde A=(a_{ij})\] é a matriz dos coeficientes e \[\mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n)^\top.
  • Para um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, por exemplo
\begin{cases} x_1'=f_1(t,x_1,x_2,\dots,x_n),\\[4pt] \vdots\\[4pt] x_n'=f_n(t,x_1,x_2,\dots,x_n), \end{cases}
a forma vetorial é
\mathbf{x}'=\mathbf{f}\bigl(t,\mathbf{x}\bigr)
com (\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n)^\top].
Dica prática: para colocar em forma vetorial, faça três passos simples:
  1. coloque as incógnitas numa coluna \mathbf{x};
  2. identifique termos que são coeficientes multiplicando cada x_j — esses entram em A (ou na matriz de coeficientes dependente de t, se houver);
  3. coloque termos que não dependem linearmente das incógnitas como vetor de forçamento (ex.: constantes, funções de t), ou dentro de \mathbf{f} se forem não lineares.]

Passo 3

Como decidir se é linear ou não — regra geral e justificativa passo a passo:
  • Definição operacional: uma equação (ou sistema) é linear em [\mathbf{x}) se pode ser escrita como combinação linear das componentes de \mathbf{x} (possivelmente com coeficientes que dependem de parâmetros independentes, como t), sem produtos entre incógnitas, sem potências não unitárias das incógnitas e sem funções não lineares das incógnitas. Em termos de operadores, o lado que atua sobre \mathbf{x} deve ser uma aplicação linear (satisfaz aditividade e homogeneidade).
  • Coisas que NÃO quebram linearidade: termo independente (termo fonte) que dependa só de t ou constantes; coeficientes que dependem de t (por exemplo a(t)x ainda é linear em x).
  • Coisas que TORNAM não linear: produtos entre incógnitas (ex.: x_1x_2), potências como x_1^2, funções não lineares aplicadas às incógnitas (ex.: \sin(x_1), e^{x_2}), termos como \frac{1}{x_1}, etc.
Exemplos didáticos (faça assim na prova):
Exemplo A — sistema linear (algébrico ou ODE linear não homogênea)
\begin{cases} x_1'=3x_1+2x_2+\sin(t),\\[4pt] x_2'=x_1-4x_2. \end{cases}
Forma vetorial:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}\mathbf{x}+\begin{pmatrix}\sin(t)\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Classificação: linear. Motivo: as incógnitas aparecem apenas em termos lineares (multiplicadas por coeficientes); o termo \sin(t)\] depende só de \[t e é um forçamento não homogêneo, mas não cria não linearidade.
Exemplo B — sistema não linear por produto
\begin{cases} x_1'=x_1x_2+2,\\[4pt] x_2'=x_1^2. \end{cases}
Forma vetorial:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}x_1x_2+2\\[4pt]x_1^2\end{pmatrix}.
Classificação: não linear. Termos que tornam não linear: x_1x_2\] (produto entre incógnitas) e \(x_1^2 (potência).
Exemplo C — equação com função não linear das incógnitas
x'=\sin(x)+t.
Forma vetorial (aqui \mathbf{x}=x é escalar):
x'=\sin(x)+t.
Classificação: não linear. Termo que torna não linear: \sin(x) (função não linear de x).
Exemplo D — sistema linear algébrico
\begin{cases} 2x+3y=5,\\[4pt] 4x-y=1. \end{cases}
Forma vetorial:
\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Classificação: linear.]

Passo 4

Checklist rápido para usar na prova (passo a passo):
  1. Agrupe incógnitas em \mathbf{x}.
  2. Reescreva cada equação isolando termos que multiplicam as incógnitas por coeficientes (estes vão para a matriz A) e coloque termos independentes de \mathbf{x} à direita (no vetor \mathbf{b} ou forçamento).
  3. Procure por termos do tipo: produto entre componentes de \mathbf{x}, potências das componentes ( x_i^2,x_i^3), funções não lineares ( \sin x_i, e^{x_i}), frações com \mathbf{x} no denominador, ou coeficientes que dependam das próprias incógnitas. Se algum desses aparecer, o sistema é não linear e a(s) expressão(ões) responsável(eis) são exatamente esses termos.
  4. Se nada disso aparecer e cada incógnita aparece apenas multiplicada por um coeficiente (possivelmente dependente de t), então é linear.

Passo 5

Se quiser, cole aqui as equações que precisam ser analisadas (todas elas). Assim eu escrevo cada uma em forma vetorial e classifico ponto a ponto, indicando exatamente quais termos — quando houver — tornam a equação não linear. Estou contigo — vamos destrinchar isso passo a passo assim que tiver as equações.

Resposta

Não é possível resolver: as equações não foram fornecidas.

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