3-131 It is well known that the temperature of the atmosphere varies with altitude. In the troposphere, which extends to an altitude of 11 km , for example, the variation of temperature can be approximated by T=T_{0}-\beta z, where T_{0} is the temperature at sea level, which can be taken to be 288.15 K , and \beta=0.0065 \mathrm{~K} / \mathrm{m}. The gravitational acceleration also changes with altitude as g(z)=g_{0} /(1+z / 6,370,320)^{2} where g_{0}=9.807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} and z is the elevation from sea level in m . Obtain a relation for the variation of pressure in the troposphere (a) by ignoring and (b) by considering the variation of g with altitude.
3-132 The variation of pressure with density in a thick gas layer is given by P=C \rho^{n}, where C and n are constants. Not-
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está abaixo:
Dados do problema 3-131:
A temperatura varia com a altitude segundo \displaystyle T=T_{0}-\beta z, com \displaystyle T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e \displaystyle \beta=0{,}0065\\ \mathrm{K/m}.
A aceleração da gravidade ao nível do mar é \displaystyle g_{0}=9{,}807\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A variação de g com a altitude é dada por \displaystyle g(z)=\dfrac{g_{0}}{(1+z/6\,370\,320)^{2}}.
O objetivo: obter uma relação para a variação da pressão no troposfera
(a) ignorando a variação de g com z;
(b) considerando a variação de g com z.
Sobre o problema 3-132: o enunciado está incompleto na mensagem recebida (“Not-…”) — falta a parte final do enunciado que define o que se pergunta. Portanto não há informação suficiente para resolver o exercício 3-132; vou resolver apenas o 3-131.
Passo 2
Primeiro princípio físico que usamos: equilíbrio hidrostático. Ele diz que, numa coluna de fluido em repouso, a variação de pressão com a altura equilibra o peso da camada de fluido. A equação diferencial é
\frac{dP}{dz}=-\rho\,g(z),
onde:
\displaystyle P(z) é a pressão a altitude z,
\displaystyle \rho(z) é a massa volumétrica (densidade) do ar a altitude z,
\displaystyle g(z) é a aceleração da gravidade a altitude z.
Explicando rápido: a diferença de pressão entre duas alturas sustenta o peso da coluna de ar entre elas; por isso o sinal negativo — quando z aumenta, normalmente P diminui.
Passo 3
Precisamos relacionar \rho com P e T. Para ar ideal usamos a equação de estado dos gases perfeitos em forma por massa:
P=\rho R T,
onde:
\displaystyle R é a constante específica do ar (constante dos gases universais dividida pela massa molar do ar). Numericamente \displaystyle R\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
\displaystyle T é a temperatura absoluta em K.
Assim podemos escrever \displaystyle \rho=\dfrac{P}{R T}. Vou usar isso para eliminar \rho da equação hidrostática.
Passo 4
Substituindo \displaystyle \rho=\dfrac{P}{R T} em \displaystyle \dfrac{dP}{dz}=-\rho g(z) obtemos a equação diferencial que governa a pressão:
\frac{dP}{dz}=-\frac{P}{R T(z)}\,g(z).
Rearranjando:
\frac{dP}{P}=-\frac{g(z)}{R\,T(z)}\,dz.
A solução será obtida integrando essa expressão de z=0 (nível do mar, onde P=P_{0}) até uma altitude z.
Passo 5
Aqui temos \displaystyle g(z)=g_{0} e \displaystyle T(z)=T_{0}-\beta z. A equação diferencial fica
A integral do lado esquerdo é \ln\!\dfrac{P}{P_{0}}. A integral do lado direito é uma integral do tipo \int \dfrac{dz'}{T_{0}-\beta z'}. Fazendo essa integral:
Essa é a fórmula padrão da troposfera usada na atmosfera padrão internacional (quando g é tratado constante).
Passo 6
Agora usamos \displaystyle g(z)=\frac{g_{0}}{\bigl(1+z/R_{e}\bigr)^{2}}, com \displaystyle R_{e}=6\,370\,320\\ \mathrm{m}, e \displaystyle T(z)=T_{0}-\beta z. A equação diferencial é
Mas A-Bu=T_{0}-\beta z, e u=1+z/R_{e}. Substituindo de volta as constantes C=\dfrac{B}{A^{2}} e D=\dfrac{1}{A} e multiplicando pelo fator -\dfrac{g_{0}R_{e}}{R} que estava fora da integral, obtemos
com \displaystyle B=\beta R_{e} e \displaystyle A=T_{0}+B.
Observação de consistência: se você faz R_{e}\to\infty (ou seja, ignora variação de g), a expressão acima se reduz à fórmula do item (a), como deve acontecer.
Resposta
(3-131 a) \displaystyle P(z)=P_{0}\left(\frac{T_{0}-\beta z}{T_{0}}\right)^{\dfrac{g_{0}}{R\beta}}.\n
(3-131 b) \displaystyle P(z)=P_{0}\exp\!\left\{-\dfrac{g_{0}R_{e}}{R}\left[\dfrac{B}{A^{2}}\ln\!\dfrac{T_{0}(1+z/R_{e})}{T_{0}-\beta z}-\dfrac{1}{A}\!\left(\dfrac{1}{1+z/R_{e}}-1\right)\right]\right\}, onde \displaystyle B=\beta R_{e}, \displaystyle A=T_{0}+B e \displaystyle R_{e}=6\,370\,320\\ \mathrm{m}.\n
(3-132) Não há informação suficiente para resolver: o enunciado do exercício está incompleto na mensagem recebida.