3-131 It is well known that the temperature of the atmosphere varies with altitude. In the troposphere, which extends to an altitude of 11 km , for example, the variation of temperature can be approximated by T=T_{0}-\beta z, where T_{0} is the temperature at sea level, which can be taken to be 288.15 K , and \beta=0.0065 \mathrm{~K} / \mathrm{m}. The gravitational acceleration also changes with altitude as g(z)=g_{0} /(1+z / 6,370,320)^{2} where g_{0}=9.807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} and z is the elevation from sea level in m . Obtain a relation for the variation of pressure in the troposphere (a) by ignoring and (b) by considering the variation of g with altitude.
3-132 The variation of pressure with density in a thick gas layer is given by P=C \rho^{n}, where C and n are constants. Not-

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados do problema 3-131:
    • A temperatura varia com a altitude segundo \displaystyle T=T_{0}-\beta z, com \displaystyle T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e \displaystyle \beta=0{,}0065\\ \mathrm{K/m}.
    • A aceleração da gravidade ao nível do mar é \displaystyle g_{0}=9{,}807\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • A variação de g com a altitude é dada por \displaystyle g(z)=\dfrac{g_{0}}{(1+z/6\,370\,320)^{2}}.
    • O objetivo: obter uma relação para a variação da pressão no troposfera
      • (a) ignorando a variação de g com z;
      • (b) considerando a variação de g com z.
  • Sobre o problema 3-132: o enunciado está incompleto na mensagem recebida (“Not-…”) — falta a parte final do enunciado que define o que se pergunta. Portanto não há informação suficiente para resolver o exercício 3-132; vou resolver apenas o 3-131.

Passo 2

Primeiro princípio físico que usamos: equilíbrio hidrostático. Ele diz que, numa coluna de fluido em repouso, a variação de pressão com a altura equilibra o peso da camada de fluido. A equação diferencial é
\frac{dP}{dz}=-\rho\,g(z),
onde:
  • \displaystyle P(z) é a pressão a altitude z,
  • \displaystyle \rho(z) é a massa volumétrica (densidade) do ar a altitude z,
  • \displaystyle g(z) é a aceleração da gravidade a altitude z.
Explicando rápido: a diferença de pressão entre duas alturas sustenta o peso da coluna de ar entre elas; por isso o sinal negativo — quando z aumenta, normalmente P diminui.

Passo 3

Precisamos relacionar \rho com P e T. Para ar ideal usamos a equação de estado dos gases perfeitos em forma por massa:
P=\rho R T,
onde:
  • \displaystyle R é a constante específica do ar (constante dos gases universais dividida pela massa molar do ar). Numericamente \displaystyle R\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
  • \displaystyle T é a temperatura absoluta em K.
Assim podemos escrever \displaystyle \rho=\dfrac{P}{R T}. Vou usar isso para eliminar \rho da equação hidrostática.

Passo 4

Substituindo \displaystyle \rho=\dfrac{P}{R T} em \displaystyle \dfrac{dP}{dz}=-\rho g(z) obtemos a equação diferencial que governa a pressão:
\frac{dP}{dz}=-\frac{P}{R T(z)}\,g(z).
Rearranjando:
\frac{dP}{P}=-\frac{g(z)}{R\,T(z)}\,dz.
A solução será obtida integrando essa expressão de z=0 (nível do mar, onde P=P_{0}) até uma altitude z.

Passo 5

Aqui temos \displaystyle g(z)=g_{0} e \displaystyle T(z)=T_{0}-\beta z. A equação diferencial fica
\frac{dP}{P}=-\frac{g_{0}}{R\,(T_{0}-\beta z)}\,dz.
Integramos ambos os lados de z=0 até z (e de P_{0} até P):
\int_{P_{0}}^{P}\frac{dP'}{P'}=-\frac{g_{0}}{R}\int_{0}^{z}\frac{dz'}{T_{0}-\beta z'}.
A integral do lado esquerdo é \ln\!\dfrac{P}{P_{0}}. A integral do lado direito é uma integral do tipo \int \dfrac{dz'}{T_{0}-\beta z'}. Fazendo essa integral:
\int_{0}^{z}\frac{dz'}{T_{0}-\beta z'} = -\frac{1}{\beta}\left.\ln\!(T_{0}-\beta z')\right|_{0}^{z} = -\frac{1}{\beta}\left[\ln(T_{0}-\beta z)-\ln(T_{0})\right].
Substituindo:
\ln\!\frac{P}{P_{0}}=-\frac{g_{0}}{R}\left(-\frac{1}{\beta}\right)\left[\ln(T_{0}-\beta z)-\ln(T_{0})\right].
Simplificando sinais:
\ln\!\frac{P}{P_{0}}=\frac{g_{0}}{R\beta}\ln\!\frac{T_{0}-\beta z}{T_{0}}.
Exponenciando ambos os lados obtemos a forma final:
\boxed{\,P(z)=P_{0}\left(\frac{T_{0}-\beta z}{T_{0}}\right)^{\dfrac{g_{0}}{R\beta}}\,.}
Comentário prático: usando \displaystyle g_{0}=9{,}807, \displaystyle R=287{,}05 e \displaystyle \beta=0{,}0065 obtemos o expoente numérico
\frac{g_{0}}{R\beta}\approx\frac{9{,}807}{287{,}05\times 0{,}0065}\approx 5{,}256.
Essa é a fórmula padrão da troposfera usada na atmosfera padrão internacional (quando g é tratado constante).

Passo 6

Agora usamos \displaystyle g(z)=\frac{g_{0}}{\bigl(1+z/R_{e}\bigr)^{2}}, com \displaystyle R_{e}=6\,370\,320\\ \mathrm{m}, e \displaystyle T(z)=T_{0}-\beta z. A equação diferencial é
\frac{dP}{P}=-\frac{g_{0}}{R}\cdot\frac{dz}{(1+z/R_{e})^{2}(T_{0}-\beta z)}.
Para integrar é conveniente fazer a substituição
u=1+\frac{z}{R_{e}}\quad\Rightarrow\quad z=R_{e}(u-1),\quad dz=R_{e}\,du.
Também defina, por simplicidade,
B=\beta R_{e},\qquad A=T_{0}+B.
Observe que
T_{0}-\beta z = T_{0}-\beta R_{e}(u-1)=A-Bu.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{z}\frac{dz'}{(1+z'/R_{e})^{2}(T_{0}-\beta z')} =R_{e}\int_{1}^{u}\frac{du'}{u'^{2}(A-Bu')},
onde u=1+z/R_{e}. Portanto
\ln\!\frac{P}{P_{0}}=-\frac{g_{0}R_{e}}{R}\int_{1}^{u}\frac{du'}{u'^{2}(A-Bu')}.

Passo 7

Fazemos decomposição em frações parciais:
procuramos constantes C,D,E tais que
\frac{1}{u^{2}(A-Bu)}=\frac{C}{u}+\frac{D}{u^{2}}+\frac{E}{A-Bu}.
Multiplicando por u^{2}(A-Bu) e comparando coeficientes obtemos (fazendo as contas, que eu mostro resumidamente):
C=\frac{B}{A^{2}},\qquad D=\frac{1}{A},\qquad E=\frac{B^{2}}{A^{2}}.
(Se quiser, testa-se substituindo de volta; a conta é algébrica linear.)
Assim a integral torna-se
\int_{1}^{u}\frac{du'}{u'^{2}(A-Bu')} = \int_{1}^{u}\left(\frac{C}{u'}+\frac{D}{u'^{2}}+\frac{E}{A-Bu'}\right)du'.
Integrando termo a termo:
\int_{1}^{u}\frac{C}{u'}du' = C\ln u\Big|_{1}^{u}=C\ln u,
\int_{1}^{u}\frac{D}{u'^{2}}du' = -D\left(\frac{1}{u'}\right)\Big|_{1}^{u} = -D\left(\frac{1}{u}-1\right),
\int_{1}^{u}\frac{E}{A-Bu'}du' = -\frac{E}{B}\ln(A-Bu')\Big|_{1}^{u} = -\frac{E}{B}\bigl[\ln(A-Bu)-\ln(A-B)\bigr].
Lembrando que A-B=T_{0}, e usando que \dfrac{E}{B}=\dfrac{B}{A^{2}}=C, somando tudo obtemos:
\int_{1}^{u}\frac{du'}{u'^{2}(A-Bu')} = C\ln\!\frac{u}{(A-Bu)/T_{0}} - D\left(\frac{1}{u}-1\right).
Mas A-Bu=T_{0}-\beta z, e u=1+z/R_{e}. Substituindo de volta as constantes C=\dfrac{B}{A^{2}} e D=\dfrac{1}{A} e multiplicando pelo fator -\dfrac{g_{0}R_{e}}{R} que estava fora da integral, obtemos
\ln\!\frac{P}{P_{0}}=-\frac{g_{0}R_{e}}{R}\left[ \frac{B}{A^{2}}\ln\!\frac{T_{0}(1+z/R_{e})}{T_{0}-\beta z} -\frac{1}{A}\!\left(\frac{1}{1+z/R_{e}}-1\right) \right].
Esta expressão é exata e resulta da integração explícita com g(z) variável.

Passo 8

Escrevendo de forma compacta os símbolos usados ( A=T_{0}+B, B=\beta R_{e}) e exponenciando, a relação final para o caso (b) fica
\boxed{\,P(z)=P_{0}\exp\!\left\{ -\dfrac{g_{0}R_{e}}{R}\left[ \dfrac{B}{A^{2}}\ln\!\dfrac{T_{0}(1+z/R_{e})}{T_{0}-\beta z} -\dfrac{1}{A}\!\left(\dfrac{1}{1+z/R_{e}}-1\right) \right]\right\}\,}
com \displaystyle B=\beta R_{e} e \displaystyle A=T_{0}+B.
Observação de consistência: se você faz R_{e}\to\infty (ou seja, ignora variação de g), a expressão acima se reduz à fórmula do item (a), como deve acontecer.

Resposta

(3-131 a) \displaystyle P(z)=P_{0}\left(\frac{T_{0}-\beta z}{T_{0}}\right)^{\dfrac{g_{0}}{R\beta}}.\n
(3-131 b) \displaystyle P(z)=P_{0}\exp\!\left\{-\dfrac{g_{0}R_{e}}{R}\left[\dfrac{B}{A^{2}}\ln\!\dfrac{T_{0}(1+z/R_{e})}{T_{0}-\beta z}-\dfrac{1}{A}\!\left(\dfrac{1}{1+z/R_{e}}-1\right)\right]\right\}, onde \displaystyle B=\beta R_{e}, \displaystyle A=T_{0}+B e \displaystyle R_{e}=6\,370\,320\\ \mathrm{m}.\n
(3-132) Não há informação suficiente para resolver: o enunciado do exercício está incompleto na mensagem recebida.

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