ing that the pressure change across a differential fluid layer of thickness
in the vertical
-direction is given as
, obtain a relation for pressure as a function of elevation
. Take the pressure and density at
to be
and
, respectively.
Passo 1
O enunciado dá a relação diferencial entre pressão e elevação:
As informações fornecidas são:
- A pressão no nível de referência
é . - A densidade no nível
é .
O que se pede: obter uma expressão para a pressão como função da elevação, isto é, determinar .
Passo 2
Vamos entender o que cada símbolo significa e o que a equação diz, antes de resolver:
-
é a pressão no fluido, função de . -
é a coordenada vertical; tomamos aqui positivo para cima (assim, subir reduz a pressão). -
é a densidade do fluido, que pode depender de em geral; unidades típicas . -
é a aceleração da gravidade, constante aproximada .
A equação diferencialdiz: a variação infinitesimal de pressão ao subir uma distância infinitesimal é igual ao peso (por volume) da camada deslocada, com sinal negativo porque pressão decresce ao subir.
Passo 3
Antes de integrar, identificamos dois casos importantes (o professor pode pedir o mais simples em prova):
- Fluido incompressível (densidade constante):
para todo . Esse é o caso típico em líquidos. - Fluido com densidade variável:
. A solução exige integrar .
Nós faremos primeiro o caso mais simples (constante), que costuma ser o pedido direto, e depois apresento a forma geral.
Passo 4
Se
é constante igual a
, a equação fica
Isto é uma diferencial simples que integra-se separando e somando incrementos. Integramos ambos os lados desde a referência
(onde
) até uma altura arbitrária
(onde
). Em notação de integrais:
Observações sobre a notação: usei
e
como variáveis de integração para evitar confusão com os limites. Agora calculamos as integrais: a integral de
é
e a integral de
é
. Assim,
Rearranjando,
Interpretação física: a pressão diminui linearmente ao subir; a queda de pressão ao subir uma altura
é exatamente
.
Passo 5
Se a densidade varia com a altura, não podemos puxá-la para fora da integral. Repetindo a integração com
dentro da integral:
As integrais dão
ou
Essa é a fórmula geral: a variação de pressão entre
e
é o peso por unidade de área da coluna de fluido entre essas alturas. Para usar na prova, basta conhecer ou obter
. Por exemplo, para um gás ideal isoterma com relação
(onde
é a constante específica do gás e
a temperatura), essa equação leva à fórmula barométrica exponencial, mas isso já é um desenvolvimento adicional.
Passo 6
- Se o enunciado dá apenas
e não fornece dependência , é quase certo que querem o caso incompressível: use . - Se o enunciado der uma relação
ou uma equação de estado relacionando e , use a forma integral geral e faça a integração indicada.
Tá difícil? Respira: a ideia-chave é sempre a mesma — balancear peso da coluna com a diferença de pressão e integrar. Você consegue!