ing that the pressure change across a differential fluid layer of thickness d z in the vertical z-direction is given as d P =-\rho g d z, obtain a relation for pressure as a function of elevation z. Take the pressure and density at z=0 to be P_{0} and \rho_{0}, respectively.

Passo 1

O enunciado dá a relação diferencial entre pressão e elevação:
dP = -\rho g\,dz
As informações fornecidas são:
  • A pressão no nível de referência z=0 é P_0.
  • A densidade no nível z=0 é \rho_0.
    O que se pede: obter uma expressão para a pressão como função da elevação z, isto é, determinar P(z).

Passo 2

Vamos entender o que cada símbolo significa e o que a equação diz, antes de resolver:
  • P é a pressão no fluido, função de z.
  • z é a coordenada vertical; tomamos aqui z positivo para cima (assim, subir reduz a pressão).
  • \rho é a densidade do fluido, que pode depender de z em geral; unidades típicas \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • g é a aceleração da gravidade, constante aproximada 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
    A equação diferencial dP=-\rho g\,dz diz: a variação infinitesimal de pressão ao subir uma distância infinitesimal dz é igual ao peso (por volume) da camada deslocada, com sinal negativo porque pressão decresce ao subir.

Passo 3

Antes de integrar, identificamos dois casos importantes (o professor pode pedir o mais simples em prova):
  1. Fluido incompressível (densidade constante): \rho(z)=\rho_0 para todo z. Esse é o caso típico em líquidos.
  2. Fluido com densidade variável: \rho=\rho(z). A solução exige integrar \rho(z).
    Nós faremos primeiro o caso mais simples (constante), que costuma ser o pedido direto, e depois apresento a forma geral.

Passo 4

Se \rho é constante igual a \rho_0, a equação fica
dP = -\rho_0 g\,dz.
Isto é uma diferencial simples que integra-se separando e somando incrementos. Integramos ambos os lados desde a referência z=0 (onde P=P_0) até uma altura arbitrária z (onde P=P(z)). Em notação de integrais:
\int_{P_0}^{P(z)} dP' = -\rho_0 g \int_{0}^{z} dz'.
Observações sobre a notação: usei P' e z' como variáveis de integração para evitar confusão com os limites. Agora calculamos as integrais: a integral de dP' é P(z)-P_0 e a integral de dz' é z-0=z. Assim,
P(z)-P_0 = -\rho_0 g z.
Rearranjando,
P(z) = P_0 - \rho_0 g z.
Interpretação física: a pressão diminui linearmente ao subir; a queda de pressão ao subir uma altura z é exatamente \rho_0 g z.

Passo 5

Se a densidade varia com a altura, não podemos puxá-la para fora da integral. Repetindo a integração com \rho(z') dentro da integral:
\int_{P_0}^{P(z)} dP' = -g \int_{0}^{z} \rho(z')\,dz'.
As integrais dão
P(z)-P_0 = -g \int_{0}^{z} \rho(z')\,dz',
ou
P(z) = P_0 - g \int_{0}^{z} \rho(z')\,dz'.
Essa é a fórmula geral: a variação de pressão entre 0 e z é o peso por unidade de área da coluna de fluido entre essas alturas. Para usar na prova, basta conhecer ou obter \rho(z). Por exemplo, para um gás ideal isoterma com relação \rho = \dfrac{P}{R_s T} (onde R_s é a constante específica do gás e T a temperatura), essa equação leva à fórmula barométrica exponencial, mas isso já é um desenvolvimento adicional.

Passo 6

  • Se o enunciado dá apenas \rho_0 e não fornece dependência \rho(z), é quase certo que querem o caso incompressível: use P(z)=P_0-\rho_0 g z.
  • Se o enunciado der uma relação \rho(z) ou uma equação de estado relacionando P e \rho, use a forma integral geral e faça a integração indicada.
    Tá difícil? Respira: a ideia-chave é sempre a mesma — balancear peso da coluna com a diferença de pressão e integrar. Você consegue!

Resposta

P(z)=P_0-\rho_0 g z (para densidade constante \rho=\rho_0).
P(z)=P_0-g\displaystyle\int_{0}^{z}\rho(z')\,dz' (forma geral para \rho=\rho(z)).

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