118 Se m \neq 0, então f\left(-\frac{b}{m}\right)=1.

Passo 1

O enunciado dado é a frase curta: “118 Se m \neq 0, então f\!\left(-\frac{b}{m}\right)=1.”
Pergunta implícita: provar (ou verificar) que, sob a hipótese m\neq 0, vale f\!\left(-\dfrac{b}{m}\right)=1.
Informações explícitas que temos: apenas a condição m\neq 0.
Informações que faltam e que são relevantes: a definição da função f (ou uma descrição precisa do que é f), o que é b (constante? variável? valor conhecido?), o domínio de f e qualquer relação entre f, m e b. Sem esses dados não há como calcular ou provar o valor de f num ponto específico.

Passo 2

Por que não dá para prosseguir imediatamente: para avaliar f num ponto precisamos saber qual é a expressão (ou regra) que define f. Diferentes definições de f dão resultados distintos ao substituir x=-\dfrac{b}{m}. Vou mostrar exemplos simples para você ver que a conclusão depende totalmente da definição de f.

Passo 3

Exemplos que ilustram a ambiguidade:
  • Se f(x)=1 para todo x (função constante), então
f\!\left(-\frac{b}{m}\right)=1,
e a afirmação seria verdadeira para qualquer m\neq0 e qualquer b.
  • Se f(x)=x, então
f\!\left(-\frac{b}{m}\right)=-\frac{b}{m},
que só é igual a 1 se -\dfrac{b}{m}=1, isto é, se b=-m. Logo, sem informação adicional, a afirmação pode ser falsa.
  • Se f(x)=\dfrac{mx+b}{mx+b} (quando o quociente está definido), então para todo x tal que mx+b\neq0 temos f(x)=1. Contudo, no ponto x=-\dfrac{b}{m} temos mx+b=0, então a expressão está indeterminada: f nem sequer estaria definida ali (a não ser que f tenha sido definida por continuidade ou por atribuição explícita naquele ponto). Portanto a afirmação também não é automática neste caso.
Esses exemplos mostram que sem a regra de f e sem informações sobre b não há uma verdade universal.

Passo 4

O que seria necessário para provar a afirmação (passo a passo didático que você aplicaria na prova, caso tivesse a definição de f):
  1. Pegue a expressão que define f(x). Por exemplo, suponha que f seja dada por alguma fórmula algébrica em termos de x, m e b.
  2. Substitua x por -\dfrac{b}{m} na expressão de f(x).
  3. Simplifique a expressão algébrica, cuidando de possíveis cancelamentos e de não dividir por zero. Sempre verifique se o denominador (se houver) não se anula quando x=-\dfrac{b}{m}.
  4. Se, após simplificar, a expressão resultar exatamente em 1 e o ponto pertencer ao domínio de f, então a afirmação está provada. Se resultar diferente de 1, ou se o ponto não pertencer ao domínio, a afirmação é falsa ou indefinida.
    Observação importante: sempre que aparece uma hipótese do tipo m\neq0, ela geralmente serve para garantir que -\dfrac{b}{m} esteja bem definido como número; mas isso não basta para garantir o valor de f naquele ponto — é necessário saber a regra de f.

Passo 5

Resumo e orientação prática (como eu, seu amigo, faria na prova se você trouxesse a definição de f):
  • Primeiro, copie a definição de f(x).
  • Segundo, substitua x=-\dfrac{b}{m} e simplifique com calma, passo a passo, escrevendo cada simplificação.
  • Terceiro, verifique domínio (nenhuma divisão por zero, nenhuma raiz de índice par de número negativo, etc.).
  • Quarto, conclua se o resultado é 1 ou não e justifique por que o domínio permite a avaliação naquele ponto.
    Se você me mandar a definição de f (e explicar o que é b), eu aplico esse procedimento e faço a conta detalhada para você.

Resposta

Não é possível concluir: o enunciado não fornece a definição de f nem informação suficiente sobre b; falta a regra de f para avaliar f\!\left(-\dfrac{b}{m}\right).

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