117 _ ( ITA - 52 ) Provar que todo número complexo de módulo unitário pode ser colocado sob a forma: \frac{a+i}{a-i}(a \in \Re).

Passo 1

O enunciado pede para provar que qualquer número complexo de módulo unitário pode ser escrito na forma \dfrac{a+i}{a-i} com a\in\mathbb{R}. Dados relevantes fornecidos: um complexo z tal que |z|=1 e a expressão alvo \dfrac{a+i}{a-i} com a real. O objetivo é mostrar que existe a\in\mathbb{R} (ou um limite correspondente) tal que z=\dfrac{a+i}{a-i}.

Passo 2

Vamos escrever z em forma exponencial (forma polar). Pela fórmula de Euler, como |z|=1 existe \theta\in\mathbb{R} tal que
z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Aqui \theta é o argumento de z; por exemplo, se z=1 então \theta=0 (ou múltiplos de 2\pi).

Passo 3

Impondo a igualdade desejada, queremos a\in\mathbb{R} tal que
\frac{a+i}{a-i}=e^{i\theta}.
Multiplicando em cruz obtemos uma equação linear em a:
a+i = e^{i\theta}(a-i).

Passo 4

Isolamos a. Desenvolvendo e agrupando termos com a,
a + i = a e^{i\theta} - i e^{i\theta}
a(1 - e^{i\theta}) = -i(1 + e^{i\theta}).
Logo (desde que 1-e^{i\theta}\neq0, i.e. \theta\not\equiv0\pmod{2\pi}, caso que trataremos depois)
a = -i\;\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}.

Passo 5

Agora simplificamos a razão usando fatoração com e^{i\theta/2}. Observando
1+e^{i\theta}=2e^{i\theta/2}\cos\frac{\theta}{2}, \qquad 1-e^{i\theta}=-2i e^{i\theta/2}\sin\frac{\theta}{2},
temos
\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{2e^{i\theta/2}\cos(\theta/2)}{-2i e^{i\theta/2}\sin(\theta/2)} = i\cot\frac{\theta}{2}.
Substituindo em a obtemos
a = -i\cdot i\cot\frac{\theta}{2} = \cot\frac{\theta}{2}.
Aqui usamos que \cot é a função trigonométrica \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Como \theta é real, \cot(\theta/2) é real sempre que definido, portanto a\in\mathbb{R}.

Passo 6

Devemos tratar o caso em que \theta\equiv0\pmod{2\pi}, isto é z=1. Nesse caso \cot(\theta/2)=\cot 0 não é um número real finito (tende para +\infty ou -\infty), e de fato não existe a\in\mathbb{R} finito tal que \dfrac{a+i}{a-i}=1. Contudo, o valor z=1 é obtido como limite quando a\to\infty:
\lim_{a\to\infty}\frac{a+i}{a-i}=1.
Portanto, para todos os z da circunferência unitária distintos de 1 existe a\in\mathbb{R} com z=\dfrac{a+i}{a-i}, e o caso z=1 corresponde ao caso limite a\to\infty.

Passo 7

Para ficar mais explícito em coordenadas reais: se z=\cos\theta+i\sin\theta então, sempre que \sin\theta\neq0,
a=\cot\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}.
Exemplo rápido para conferir: para z=-1 (ou seja \theta=\pi) temos a=\cot(\pi/2)=0 e
\frac{0+i}{0-i}=\frac{i}{-i}=-1,
funciona. Para z=i ( \theta=\pi/2) obtemos a=\cot(\pi/4)=1 e
\frac{1+i}{1-i}=i,
também dá certo.

Resposta

Para z=e^{i\theta} com z\neq1: a=\cot\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e portanto z=\dfrac{a+i}{a-i}. Para z=1 corresponde o limite a\to\infty.

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