117 _ ( ITA - 52 ) Provar que todo número complexo de módulo unitário pode ser colocado sob a forma:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que qualquer número complexo de módulo unitário pode ser escrito na forma
com
. Dados relevantes fornecidos: um complexo
tal que
e a expressão alvo
com
real. O objetivo é mostrar que existe
(ou um limite correspondente) tal que
.
Passo 2
Vamos escrever
em forma exponencial (forma polar). Pela fórmula de Euler, como
existe
tal que
Aqui
é o argumento de
; por exemplo, se
então
(ou múltiplos de
).
Passo 3
Impondo a igualdade desejada, queremos
tal que
Multiplicando em cruz obtemos uma equação linear em
:
Passo 4
Isolamos
. Desenvolvendo e agrupando termos com
,
Logo (desde que
, i.e.
, caso que trataremos depois)
Passo 5
Agora simplificamos a razão usando fatoração com
. Observando
temos
Substituindo em
obtemos
Aqui usamos que
é a função trigonométrica
. Como
é real,
é real sempre que definido, portanto
.
Passo 6
Devemos tratar o caso em que
, isto é
. Nesse caso
não é um número real finito (tende para
ou
), e de fato não existe
finito tal que
. Contudo, o valor
é obtido como limite quando
:
Portanto, para todos os
da circunferência unitária distintos de
existe
com
, e o caso
corresponde ao caso limite
.
Passo 7
Para ficar mais explícito em coordenadas reais: se
então, sempre que
,
Exemplo rápido para conferir: para
(ou seja
) temos
e
funciona. Para
(
) obtemos
e
também dá certo.
Resposta
Para
com
:
e portanto
. Para
corresponde o limite
.