119 Se o manômetro for instalado na posição inferior do tanque, ele deverá medir uma pressão equivalente à altura de gás liquefeito dada por \rho \times \mathrm{g} \times \mathrm{H}, em que, \rho é a massa específica, g , a aceleração da gravidade, e H, a altura de fluido no tanque.

Passo 1

O enunciado afirma que, se o manômetro for instalado na posição inferior do tanque, ele deverá medir uma pressão equivalente à altura do fluido dada por \rho \times g \times H.
Informações dadas e hipóteses (listadas explicitamente para não ficar dúvida):
  • A massa específica do líquido é \rho.
  • A aceleração da gravidade é g.
  • A altura do líquido (coluna de fluido) entre a superfície livre e o fundo é H.
  • O fluido está em repouso (estado estático).
  • A superfície superior do líquido está sujeita a uma pressão p_{\text{superfície}}í (por exemplo, pressão atmosférica).
  • O manômetro está ligado no fundo do tanque e mede pressão em relação à referência que ele usa (se for manômetro relativo, mede pressão gauge).
    Nenhuma outra informação será pedida — vamos assumir fluido praticamente incompressível (densidade constante) e gravidade vertical para baixo.

Passo 2

Entender a ideia física: a pressão em um ponto dentro de um fluido em repouso aumenta com a profundidade porque a coluna de fluido acima daquele ponto empurra por seu próprio peso. Para visualizar facilmente, imagine um pequeno cilindro de fluido de área de seção transversal A e altura \mathrm{d}z localizado a uma profundidade z. Vamos usar esse cilindro para escrever o balanço de forças na direção vertical e obter a relação entre variação de pressão e peso do fluido acima.

Passo 3

Fazer o balanço de forças no pequeno elemento de fluido. Defina:
  • p(z) = pressão no nível z.
  • p(z+\mathrm{d}z) = pressão um pouco mais abaixo, a z+\mathrm{d}z.
  • A área da base do cilindro = A.
    Forças verticais atuando no cilindro (positivo para cima):
  • Força de pressão para cima na face inferior: p(z+\mathrm{d}z)\,A.
  • Força de pressão para baixo na face superior: -p(z)\,A.
  • Peso do elemento (para baixo): -\rho\,A\,\mathrm{d}z\,g.
    Como o fluido está em equilíbrio (aceleração zero), soma das forças = 0, então
p(z+\mathrm{d}z)\,A - p(z)\,A - \rho\,A\,\mathrm{d}z\,g = 0.
Dividindo por A e rearranjando:
\frac{p(z+\mathrm{d}z)-p(z)}{\mathrm{d}z} = -\rho g.
No limite \mathrm{d}z\to 0 isso dá a derivada:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g.
Explicação das variáveis: p é pressão (unidade Pa), z é coordenada vertical (unidade m) positiva para cima (daí o sinal negativo), \rho massa específica (kg/m³) e g aceleração da gravidade (m/s²).

Passo 4

Integrar a equação diferencial para relacionar pressão entre superfície e fundo. Escolha sistema de referência com a superfície livre do líquido em z=0 e o fundo em z=-H (ou alternativamente integrar em termos de profundidade); aqui é mais simples integrar em profundidade positiva: escrevemos
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g.
Integramos do nível da superfície (onde p=p_{\text{superfície}}í em z=0) até o fundo (onde p=p_{\text{fundo}} em z=-H). Fazendo a integração direta (ou, em alternativa, mudando variável para profundidade h e integrando de 0 até H) obtemos:
p_{\text{fundo}} - p_{\text{superfície}} = \rho g H.í
Portanto a pressão no fundo é
p_{\text{fundo}} = p_{\text{superfície}} + \rho g H.í

Passo 5

Interpretação prática para o manômetro:
  • Se o manômetro instalado no fundo for um manômetro relativo (gauge), ele mede a diferença de pressão entre o fundo e a referência (normalmente a pressão atmosférica). Se a superfície livre está à pressão atmosférica p_{\text{atm}} e o manômetro referencia a atmosfera, então a leitura do manômetro será
p_{\text{gauge}} = p_{\text{fundo}} - p_{\text{atm}} = \rho g H.
  • Se for importante a pressão absoluta no fundo (por exemplo para projetos), use p_{\text{fundo}} = p_{\text{superfície}} + \rho g Hí.
    Observação sobre hipóteses: esta dedução usa densidade praticamente constante (válido para líquidos, como um gás liquefeito) e fluido em repouso. Se a densidade variasse com a profundidade, a integral seria \int_0^{H}\rho(h) g\,\mathrm{d}h.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, para você ter sensação de grandeza): suponha \rho=800\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e H=2\\ \mathrm{m}. Então
\rho g H = 800\times 9{,}81\times 2 \approx 15\,696\\ \mathrm{Pa}\approx 0{,}156\\ \mathrm{bar},
que é o valor que um manômetro relativo mostraria. Força aí — você já tem o raciocínio todo para aplicar na prova!

Resposta

\text{Pressão medida (relativa) pelo manômetro}=\rho g Hãô
\text{Pressão absoluta no fundo}=p_{\text{superfície}}+\rho g Hãí

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