119 Se o manômetro for instalado na posição inferior do tanque, ele deverá medir uma pressão equivalente à altura de gás liquefeito dada por
, em que,
é a massa específica, g , a aceleração da gravidade, e H, a altura de fluido no tanque.
Passo 1
O enunciado afirma que, se o manômetro for instalado na posição inferior do tanque, ele deverá medir uma pressão equivalente à altura do fluido dada por
.
Informações dadas e hipóteses (listadas explicitamente para não ficar dúvida):
Informações dadas e hipóteses (listadas explicitamente para não ficar dúvida):
- A massa específica do líquido é
. - A aceleração da gravidade é
. - A altura do líquido (coluna de fluido) entre a superfície livre e o fundo é
. - O fluido está em repouso (estado estático).
- A superfície superior do líquido está sujeita a uma pressão
(por exemplo, pressão atmosférica). - O manômetro está ligado no fundo do tanque e mede pressão em relação à referência que ele usa (se for manômetro relativo, mede pressão gauge).
Nenhuma outra informação será pedida — vamos assumir fluido praticamente incompressível (densidade constante) e gravidade vertical para baixo.
Passo 2
Entender a ideia física: a pressão em um ponto dentro de um fluido em repouso aumenta com a profundidade porque a coluna de fluido acima daquele ponto empurra por seu próprio peso. Para visualizar facilmente, imagine um pequeno cilindro de fluido de área de seção transversal
e altura
localizado a uma profundidade
. Vamos usar esse cilindro para escrever o balanço de forças na direção vertical e obter a relação entre variação de pressão e peso do fluido acima.
Passo 3
Fazer o balanço de forças no pequeno elemento de fluido. Defina:
-
= pressão no nível . -
= pressão um pouco mais abaixo, a . - A área da base do cilindro =
.
Forças verticais atuando no cilindro (positivo para cima): - Força de pressão para cima na face inferior:
. - Força de pressão para baixo na face superior:
. - Peso do elemento (para baixo):
.
Como o fluido está em equilíbrio (aceleração zero), soma das forças = 0, então
Dividindo por
e rearranjando:
No limite
isso dá a derivada:
Explicação das variáveis:
é pressão (unidade Pa),
é coordenada vertical (unidade m) positiva para cima (daí o sinal negativo),
massa específica (kg/m³) e
aceleração da gravidade (m/s²).
Passo 4
Integrar a equação diferencial para relacionar pressão entre superfície e fundo. Escolha sistema de referência com a superfície livre do líquido em
e o fundo em
(ou alternativamente integrar em termos de profundidade); aqui é mais simples integrar em profundidade positiva: escrevemos
Integramos do nível da superfície (onde
em
) até o fundo (onde
em
). Fazendo a integração direta (ou, em alternativa, mudando variável para profundidade
e integrando de
até
) obtemos:
Portanto a pressão no fundo é
Passo 5
Interpretação prática para o manômetro:
- Se o manômetro instalado no fundo for um manômetro relativo (gauge), ele mede a diferença de pressão entre o fundo e a referência (normalmente a pressão atmosférica). Se a superfície livre está à pressão atmosférica
e o manômetro referencia a atmosfera, então a leitura do manômetro será
- Se for importante a pressão absoluta no fundo (por exemplo para projetos), use
.
Observação sobre hipóteses: esta dedução usa densidade praticamente constante (válido para líquidos, como um gás liquefeito) e fluido em repouso. Se a densidade variasse com a profundidade, a integral seria.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, para você ter sensação de grandeza): suponha
,
e
. Então
que é o valor que um manômetro relativo mostraria. Força aí — você já tem o raciocínio todo para aplicar na prova!