Sendo \mathscr{L} a transformada de Laplace, e \mathscr{L}^{-1} a sua inversa,
calcule
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s(s+8)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s(s+8)}\Bigr\}.
Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e a tabela básica
\mathscr{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s}\bigr\}=1, \qquad \mathscr{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s+a}\bigr\}=e^{-at}.

Passo 2

Escrevemos a fração em partes simples:
\frac{3}{s(s+8)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+8}.
Multiplicando por s(s+8), vem
3 = A(s+8)+Bs.
Escolhendo s=0 3=8A\Rightarrow A=\tfrac{3}{8}.
Escolhendo s=-8 3=-8B\Rightarrow B=-\tfrac{3}{8}.
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\frac{3}{s(s+8)} =\frac{3}{8}\,\frac{1}{s} -\frac{3}{8}\,\frac{1}{s+8}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{8}\,\tfrac{1}{s}\Bigr\} =\tfrac{3}{8}\cdot1 =\tfrac{3}{8},
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{3}{8}\,\tfrac{1}{s+8}\Bigr\} =-\tfrac{3}{8}\,e^{-8t}.

Passo 4

Somando ambos os resultados obtemos
f(t) =\tfrac{3}{8}-\tfrac{3}{8}e^{-8t} =\tfrac{3}{8}\bigl(1-e^{-8t}\bigr).

Resposta

\frac{3}{8}\bigl(1-e^{-8t}\bigr)

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