12.14 Resolva para x(t) :
x^{\prime \prime \prime}+x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}=1+\mathrm{e}^{t}, \quad x(0)=x^{\prime}(0)=x^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de terceira ordem
x''' + x'' - 2x' = 1 + e^t
com condições iniciais
x(0)=0,\quad x'(0)=0,\quad x''(0)=0.
O conteúdo aqui é resolver EDO linear com coeficientes constantes via método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois dois particulares (um para o termo constante e outro para e^t), e finalmente ajustamos as constantes pela condição inicial.

Passo 2

A equação homogênea associada é
x''' + x'' - 2x' = 0.
A equação característica é
r^3 + r^2 - 2r = r\,(r^2 + r - 2) = r\,(r+2)\,(r-1)=0,
cujas raízes são r=0, r=-2 e r=1. Logo, a solução geral homogênea é
x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} + C_3 e^t.

Passo 3

Para o termo constante 1, como r=0 já é raiz simples, tentamos
x_{p1}(t) = A\,t.
Calculando derivadas:
x'_{p1}=A,\quad x''_{p1}=0,\quad x'''_{p1}=0,
e substituindo em x'''+x''-2x' =1
0 + 0 -2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12.
Logo
x_{p1}(t) = -\frac12\,t.

Passo 4

Para o termo e^t, como r=1 é raiz simples, tentamos
x_{p2}(t) = B\,t\,e^t.
Derivando:
x'_{p2} = B e^t(1+t),\quad x''_{p2} = B e^t(2+t),\quad x'''_{p2} = B e^t(3+t).
Substituindo em x'''+x''-2x' e igualando a e^t:
B e^t(3+t) + B e^t(2+t) -2B e^t(1+t) =3B\,e^t \overset!= e^t \quad\Longrightarrow\quad 3B=1 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac13.
Assim
x_{p2}(t) = \frac13\,t\,e^t.

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
x(t) = x_h(t) + x_{p1}(t) + x_{p2}(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} + C_3 e^t \;-\;\tfrac12\,t \;+\;\tfrac13\,t\,e^t.

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais. Calculamos x'(t) e x''(t):
x'(t) = -2C_2 e^{-2t} + C_3 e^t -\tfrac12 + \tfrac13 e^t(1+t),
x''(t) = 4C_2 e^{-2t} + C_3 e^t + \tfrac13 e^t(t+2).
Em t=0 temos o sistema
\begin{cases} x(0)=C_1 + C_2 + C_3 =0,\\\ x'(0)=-2C_2 + C_3 -\tfrac12 + \tfrac13 =0,\\\ x''(0)=4C_2 + C_3 + \tfrac23 =0. \end{cases}
Dessa forma encontra-se
C_2 = -\tfrac{5}{36},\quad C_3 = -\tfrac{1}{9},\quad C_1 = \tfrac14.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
x(t) = \frac14 \;-\;\frac{5}{36}\,e^{-2t} \;+\;e^t\Bigl(\frac{t}{3}-\frac{1}{9}\Bigr) \;-\;\frac{t}{2}.

Exercícios relacionados