12.16 (a) Para uma solução aquosa de sacarose a
em massa, calcule o ponto de congelamento usando
. (b) O ponto de congelamento observado dessa solução é
abaixo do da água. Considere a Eq. (12.7) com
supostamente constante para calcular
nessa solução. (c) Utilize (10.107) no Probl.
para determinar o coeficiente osmótico
nessa solução.
Passo 1
O enunciado dá uma solução aquosa de sacarose com concentração em massa
(ou seja,
de sacarose em
de solução) e pede três coisas distintas:
-
(a) Usando
, calcular o ponto de congelamento (ou a depressão do ponto de congelamento) da solução. Dados necessários que vamos usar: a constante crioscópica da água (valor padrão) e a massa molar da sacarose , que vamos tomar como . -
(b) O ponto de congelamento observado é
abaixo da água pura. Usando a Eq. (12.7) (a relação entre atividade do solvente e a temperatura de fusão, assumindo constante), calcular a atividade da água nessa solução e o coeficiente de atividade . Dados que vamos usar: entalpia molar de fusão da água e a temperatura de fusão normal . -
(c) Usar a relação (problema 10.31 / eq. 10.107) com
(sacarose não se dissocia, então ) para determinar o coeficiente osmótico da solução. A fórmula que vamos aplicar é a forma usual em termos de molalidade: (ver explicação no passo apropriado), onde é a massa molar do solvente em (para a água ) e é a molalidade (mol soluto por kg solvente) que vamos calcular em (a).
Informações numéricas que extraí do enunciado e que vou usar explicitamente:
- Concentração em massa:
sacarose para facilitar os cálculos vou considerar de solução: (sacarose) e . - Massa molar sacarose
. - Valores constantes:
, , , , . - O enunciado dá a depressão observada
.
Passo 2
(a) Calcular a molalidade
(definição e cálculo):
Explicação do conceito: a molalidade é o número de mols de soluto por quilograma de solvente. É conveniente para propriedades coligativas porque não muda com temperatura (ao contrário da concentração percentual em volume). A fórmula é
Explicação do conceito: a molalidade
Cálculo dos mols de sacarose:
Vamos calcular:
Massa do solvente (água) em kg (peguei esses números do enunciado, convertendo):
Agora a molalidade:
Passo 3
(a) Aplicar
(explicação da fórmula):
Significado: é a variação do ponto de fusão/congelamento do solvente puro ao dissolver um soluto não volátil; para soluções diluídas a primeira aproximação dá uma depressão proporcional à molalidade. O coeficiente
é uma constante característica do solvente (para a água
).
Significado:
Cálculo numérico:
Interpretação: o ponto de congelamento da solução fica
abaixo de
. Então o ponto de congelamento previsto é
Arredondando razoavelmente, a depressão prevista é
e o ponto de congelamento previsto é
.
Passo 4
(b) Calcular a atividade da água
usando a Eq. (12.7) (derivação e aplicação):
Explicação física e fórmula: a condição de equilíbrio entre o sólido puro (gelo) e o solvente na solução é a igualdade dos potenciais químicos. A manipulação (ver derivação típica) leva à relação
onde
é a atividade do solvente na solução à temperatura
(aqui
é a temperatura de congelamento da solução),
é a temperatura de fusão do solvente puro e
é a entalpia molar de fusão do solvente (assumida aproximadamente constante nesse intervalo pequeno).
Para pequenas depressões
pode-se aproximar
Assim a forma aproximada útil é
Agora aplico com a depressão observada
(usei o valor dado no enunciado para esta parte):
Faço as contas em etapas:
Multiplicando:
Logo
Isso significa que a atividade da água na solução é aproximadamente
(um valor bem próximo de 1, como esperado para solução diluída).
Passo 5
(b) Calcular o coeficiente de atividade
(definição e cálculo):
Definição: a atividade do componente
é o produto da sua fração molar
pela sua atividade relativa (coeficiente de atividade)
:
Assim
. Para o solvente água vamos calcular a fração molar
e então
.
Cálculo da fração molar da água (peguei as massas do passo 1:
sacarose e
água):
Agora o coeficiente de atividade:
Interpretação:
está muito próximo de
, indicando comportamento quase ideal (saída esperada para solução diluída de sacarose).
Passo 6
(c) Determinar o coeficiente osmótico
usando a relação apropriada (explicação e cálculo):
Definição usada (forma usual para soluções diluídas em termos da molalidade
): a osmoticidade é relacionada com a atividade do solvente por
onde:
-
é a atividade do solvente (aqui água), -
é o coeficiente osmótico que corrige desvios da idealidade, -
é o número de partículas formadas por fórmula do soluto (para sacarose ), -
é a molalidade (mol soluto por kg solvente) calculada no passo 2, -
é a massa molar do solvente em (para água ).
Desse modo
Já temos
,
,
e
. Substituindo:
Interpretação:
um pouco maior que 1 indica um pequeno desvio da idealidade na maneira como a atividade do solvente depende da molalidade; para soluções muito diluídas espera-se
, então aqui o desvio é pequeno, coerente com os valores de
próximos de 1.
Resposta
(a)
(depressão prevista
).
(b)
e
.
(c) .
(b)
(c)