12.11 Dado que \Delta_{\mathrm{vap}} H_{\mathrm{m}}=40,66 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} para a água a 100^{\circ} \mathrm{C}, calcule \mathrm{o} k_{e b} da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.
Passo 1
O enunciado dá o valor da entalpia molar de vaporização da água à temperatura de ebulição normal e pede o valor da constante ebuliométrica (k_{eb}) da água. Dados explícitos:
\Delta_{\mathrm{vap}} H_{\mathrm{m}} = 40{,}66\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (para água a 100^\circ\mathrm{C}).
O que é pedido:
Calcular k_{eb} (constante ebuliométrica, também escrita K_b) para a água, com unidade \mathrm{K\;kg\;mol^{-1}}.
Passo 2
O que é k_{eb} e a relação experimental que a define.
A constante ebuliométrica k_{eb} é a constante que aparece na lei da elevação ebuliométrica:
\Delta T_b = k_{eb}\,b,
onde \Delta T_b é o aumento do ponto de ebulição do solvente causado pela adição de soluto não volátil e b é a molalidade do soluto (mol de soluto por kg de solvente).
Nosso objetivo é obter uma expressão teórica para k_{eb} em função de quantidades termodinâmicas conhecidas (temperatura de ebulição, \Delta_{\mathrm{vap}} H_m, massa molar do solvente, etc.).
Passo 3
Derivação (passo a passo, com explicação das aproximações).
Ideia física rápida: a solução ferve quando a pressão de vapor da solução atinge a pressão externa. Para uma solução diluída a pressão de vapor da solução é dada por Raoult:
p_{\text{sol}} = x_{\text{solvent}}\,p^{*}(T),
onde x_{\text{solvent}} é a fração molar do solvente e p^{*}(T) é a pressão de vapor do solvente puro à temperatura T.
2) Seja T_b a temperatura de ebulição do solvente puro (para água T_b=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}). A pressão externa é p^{*}(T_b). Para a solução, a nova temperatura de ebulição será T_b+\Delta T_b tal que
Para solução diluída, x_{\text{solvent}}\approx 1 - x_{\text{solute}} e, para pequenos x_{\text{solute}}, \ln x_{\text{solvent}}\approx -x_{\text{solute}}. Assim: