12.18 Em uma solução aquosa
de sacarose, a molaridade da
é
a
e 1 atm . A massa específica da água é
a
e 1 atm . (a) Estime a pressão osmótica dessa solução usando a equação de van’t Hoff. (b) A pressão osmótica dessa solução é 7,61 atm. Empregue a Eq. (12.24) para determinar
e
nessa solução. Observação:
em (12.24) está à pressão
, mas a dependência de
com a pressão é fraca, podendo ser ignorada aqui.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
Dado:
- Concentração em molalidade da sacarose:
. - Molaridade da sacarose:
à e . - Massa específica da água:
à e . - Temperatura:
. - Constante dos gases (usada com unidades L·atm·mol
·K ): . - Pressão osmótica experimental fornecida no item (b):
.
O enunciado pede:
(a) Estimar a pressão osmótica dessa solução usando a equação de van’t Hoff.
(b) Usando a Eq. (12.24) (a relação entre e a atividade do solvente), determinar
e
para essa solução. Observação: podemos ignorar a dependência de
com a pressão além de
.
(a) Estimar a pressão osmótica dessa solução usando a equação de van’t Hoff.
(b) Usando a Eq. (12.24) (a relação entre
Passo 2
Entendendo a equação de van’t Hoff (a “fórmula fácil” para pressão osmótica) — teoria e quando usar.
- Para soluções diluídas de soluto não iônico e ideal, a pressão osmótica
é dada por (equação de van’t Hoff)
onde:
-
é a molaridade do soluto em (ou ), -
é a constante dos gases na unidade compatível (aqui usamos ), -
é a temperatura em kelvin. -
Intuição rápida: a solução age como um “gás diluído” de partículas de soluto cuja concentração determina a pressão osmótica; válido quando a solução é suficientemente diluída e o soluto é não iônico (como a sacarose).
Passo 3
Aplicando van’t Hoff para calcular a estimativa da pressão osmótica (item a).
Dados para usar na fórmula:
-
. -
. -
.
Calcule
:
Agora a pressão osmótica estimada:
Comentário motivador: deu
em torno de
. É uma grande pressão osmótica (sacarose em alta concentração dá presión significativa), e esse valor é a estimativa ideal segundo van’t Hoff.
Passo 4
Comparação rápida entre a estimativa e o valor experimental (prévia ao item b).
- Estimativa van’t Hoff:
. - Valor experimental dado:
.
Observação:
, isto indica desvios do comportamento ideal (atividade do solvente menor que a molfração pura), portanto faz sentido calcular a atividade do solvente e o coeficiente de atividade.
Passo 5
Derivação da relação que liga pressão osmótica e atividade do solvente (a chamada Eq. (12.24) que usaremos).
- Equilíbrio osmótico implica igualdade de potenciais químicos do solvente entre o lado do solvente puro (pressão
) e o lado da solução (pressão ):
- A função de estado para o solvente na solução pode ser escrita como
- Expandindo
em torno de (pressão pequena comparada à compressibilidade) e usando a definição do volume molar parcial , obtemos, em boa aproximação:
- Inserindo tudo na igualdade de potenciais e cancelando
, resulta
- Reorganizando:
Essa é a equação que liga a atividade do solvente
com a pressão osmótica
. É a Eq. (12.24) na forma usual.
Passo 6
Cálculo do volume molar do solvente
a partir da massa específica dada.
- Massa molar da água:
. - Densidade da água dada:
. - O volume ocupado por 1 mol de água é:
- Converter para litros por mol (para consistência com
em L·atm·mol ·K ):
Passo 7
Usar a Eq. (12.24) para obter a atividade do solvente
a partir da pressão osmótica experimental
.
A relação invertida é:
Substituindo números:
-
. -
. -
.
Calcule o numerador:
Então
Portanto
Interpretação curta:
como esperado (solução reduz a atividade do solvente).
Passo 8
Cálculo da fração molar do solvente
a partir da molalidade fornecida (usaremos a definição de molalidade).
- Molalidade
significa mol de sacarose por (i.e., por ) de solvente água. - Moles de água em
de água:
- Moles de soluto (sacarose) correspondentes:
. - Fração molar da água:
Passo 9
Cálculo do coeficiente de atividade do solvente
.
- Definição:
. - Então
Interpretação:
muito próximo de 1, o que indica que a água se comporta quase idealmente como solvente (mas a pequena diferença de
confirma que há leve não idealidade que fez
maior que a previsão ideal de van’t Hoff).
Passo 10
Breve resumo e incentivo (rápido, para motivar): fizemos a estimativa simples com van’t Hoff e, em seguida, a partir da pressão osmótica experimental derivamos a atividade do solvente pela relação termodinâmica básica. Tudo tem sentido físico: a atividade do solvente está levemente abaixo da sua fração molar, mostrando pequena não idealidade. Isso é exatamente o tipo de raciocínio que costuma cair em prova — você mandou bem pedindo a resolução passo a passo 😃
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)