12.14 O fenol \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}\right) é parcialmente dimerizado no solvente bromofórmio. Quando 2,58 g de fenol são dissolvidos em 100 g de bromofórmio, o ponto de congelamento do bromofórmio é diminuído em 2,37^{\circ} \mathrm{C}. O bromofórmio puro congela a 8,3^{\circ} \mathrm{C} e tem k_{f}= 14,1^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{kg} \mathrm{mol}{ }^{-1}. Calcule a constante de equilíbrio K_{m} para a reação de dimerização do fenol no bromofórmio a 6^{\circ} \mathrm{C}, supondo uma solução diluída ideal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • massa de fenol dissolvida: 2,58\\ \text{g}.
    • massa do solvente (bromofórmio): 100\\ \text{g} = 0,100\\ \text{kg}.
    • abaixamento do ponto de congelamento observado: \Delta T_f = 2,37^\circ\mathrm{C}.
    • ponto de congelação do bromofórmio puro: 8,3^\circ\mathrm{C} (informação complementar).
    • constante crioscópica do bromofórmio: k_f = 14,1^\circ\mathrm{C\;kg\;mol^{-1}}.
    • fenol dimeriza segundo a reação \;2\mathrm{A}\rightleftharpoons\mathrm{A}_2 (associação parcial).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a constante de equilíbrio K_m para a reação de dimerização do fenol no bromofórmio a 6^\circ\mathrm{C}, supondo solução diluída ideal.

Passo 2

Entender a relação entre abaixamento congelamento e número de partículas efetivas (ideia física e fórmulas que vamos usar).
  • Para soluções diluídas ideais, o abaixamento do ponto de congelamento é dado por:
\Delta T_f = k_f\cdot b_{\text{ef}},
onde:
  • \Delta T_f é a diminuição da temperatura de congelação (em ^\circ\mathrm{C});
  • k_f é a constante crioscópica do solvente (em ^\circ\mathrm{C\;kg\;mol^{-1}});
  • b_{\text{ef}} é a molalidade efetiva total das partículas soluto na solução (em \mathrm{mol\;kg^{-1}}), ou seja, a soma das molalidades de todas as espécies que existem como partículas independentes (monômeros + dímeros, contando cada dimer como UMA partícula).
  • No caso de dimerização \;2\mathrm{A}\rightleftharpoons\mathrm{A}_2, se chamarmos:
    • b_0 = molalidade total de fenol em unidades de “mol de unidades fenol por kg solvente” (antes de separar em espécies);
    • b_M = molalidade do monômero \mathrm{A} (mol/kg);
    • b_D = molalidade do dímero \mathrm{A}_2 (mol/kg),
      então a conservação da quantidade de fenol (em “unidades A”) dá:
b_0 = b_M + 2\,b_D.
E a molalidade efetiva de partículas que entra em \Delta T_f é
b_{\text{ef}} = b_M + b_D,
porque cada monômero conta como uma partícula e cada dímero também conta como uma partícula.
  • A constante de equilíbrio em termos de molalidades (constante em escala molal, com unidades \mathrm{kg\;mol^{-1}}) para a reação de associação é definida por:
K_m = \frac{b_D}{(b_M)^2}.
Aqui:
  • K_m mede a tendência à dimerização em unidades de molalidade; b_D está em \mathrm{mol\;kg^{-1}} e b_M em \mathrm{mol\;kg^{-1}}, então as unidades de K_m são \mathrm{kg\;mol^{-1}}.

Passo 3

Calcular a molalidade inicial total b_0 do fenol a partir dos dados de massa e da massa molar do fenol.
  • Calcular a massa molar do fenol \mathrm{C_6H_6O}:
    • M(\mathrm{C})\approx 12,011\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}, M(\mathrm{H})\approx1,008\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}, M(\mathrm{O})\approx16,00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • Assim M(\text{fenol})\approx 6\cdot12,011 + 6\cdot1,008 + 16,00 \approx 94,11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Número de mols de fenol dissolvidos:
n_0=\frac{2,58\\ \text{g}}{94,11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}\approx 0,02742\\ \mathrm{mol}.
  • Molalidade total inicial (unidades “mol de unidades A por kg solvente”):
b_0=\frac{n_0}{\text{kg de solvente}}=\frac{0,02742\\ \mathrm{mol}}{0,100\\ \mathrm{kg}}=0,2742\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}}.

Passo 4

Usar o abaixamento de congelação para encontrar a molalidade efetiva b_{\text{ef}} = b_M + b_D.
  • Da fórmula \Delta T_f = k_f\,b_{\text{ef}}, temos:
b_{\text{ef}}=\frac{\Delta T_f}{k_f}=\frac{2,37}{14,1}.
  • Calculemos:
b_{\text{ef}}=\frac{2,37}{14,1}\approx 0,16809\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}}.

Passo 5

Montar o sistema de equações e resolver para [b_M) e b_D.
  • As equações que temos são:
\begin{cases} b_M + b_D = b_{\text{ef}},\\[4pt] b_M + 2b_D = b_0. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira da segunda obtemos:
(b_M+2b_D)-(b_M+b_D)=b_0-b_{\text{ef}}\quad\Rightarrow\quad b_D = b_0 - b_{\text{ef}}.
  • Substituindo os valores numéricos (todos em \mathrm{mol\;kg^{-1}}\]): \[b_D = 0,2742 - 0,16809 = 0,10611\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}}.\] - Então \(b_M = b_{\text{ef}} - b_D = 0,16809 - 0,10611 = 0,06198\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}}.
    (Arredondei guardando 5–6 algarismos para evitar erro de arredondamento no passo seguinte.)]

Passo 6

Calcular K_m a partir de K_m = \dfrac{b_D}{(b_M)^2} e explicar unidades.
  • Substituindo:
K_m=\frac{b_D}{(b_M)^2}=\frac{0,10611}{(0,06198)^2}.
  • Calculemos o quadrado:
(0,06198)^2 \approx 0,003840.
  • Então:
K_m \approx \frac{0,10611}{0,003840}\approx 27,64\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
  • Interpretação de unidades: como b_D tem unidade \mathrm{mol\;kg^{-1}} e b_M também, K_m tem unidade (\mathrm{mol\;kg^{-1}})/(\mathrm{mol\;kg^{-1}})^2=\mathrm{kg\;mol^{-1}}, conforme esperado para uma constante de equilíbrio escrita em molalidade para uma reação que consome 2 espécies para formar 1.

Passo 7

Comentário final rápido e checagem de consistência.
  • O valor obtido indica que a dimerização no bromofórmio é relativamente favorecida (constante maior que 1), o que faz sentido já que observou-se uma redução do número de partículas efetivas (b_{ef} menor que b_0).
  • Pequenas diferenças numéricas podem surgir por arredondamentos e pela precisão da massa molar usada; com os dados fornecidos, K_m fica perto de 27{,}6\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.

Resposta

K_m \approx 27{,}6\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}

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