12.23 (a) A pressão osmótica do sangue humano é 7 atm a 37^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que o NaCl forma soluções diluídas ideais em água e aplique (12.31) para estimar a molaridade de uma solução salina (NaCl) que é isotônica ao sangue a 37^{\circ} \mathrm{C}. Compare com o valor de 0,15 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3} realmente utilizado para injeções intravenosas. (b) As molalidades dos solutos principais (em mol/kg) na água do mar são NaCl , 0, 460 ; \mathrm{MgCl}_{2}, 0,034 ; \mathrm{MgSO}_{4}, 0,019 ; \mathrm{CaSO}_{4}, 0,009. Suponha que a água do mar seja uma solução diluída ideal, ignore o emparelhamento de íons e estime a pressão osmótica da água do mar a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, com os dados que precisamos usar.
  • Parte (a): a pressão osmótica do sangue é \pi=7\\ \text{atm} a 37^\circ\text{C}. O enunciado pede estimar a molaridade de uma solução aquosa de NaCl que seja isotônica ao sangue, supondo solução diluída ideal e aplicando a relação (12.31). Também pede comparar com o valor praticado para soro fisiológico, 0,15\\ \text{mol/dm}^3.
    • Dados: \pi=7\\ \text{atm}, T=37^\circ\text{C}=310\\ \text{K}. NaCl forma dois íons (idealmente).
  • Parte (b): são dadas as molalidades (mol/kg de água) dos solutos na água do mar:
    • NaCl: 0,460 mol/kg
    • MgCl _2: 0,034 mol/kg
    • MgSO _4: 0,019 mol/kg
    • CaSO _4: 0,009 mol/kg
    • Pedem estimar a pressão osmótica da água do mar a 20^\circ\text{C} supondo solução diluída ideal e ignorando emparelhamento de íons.
    • Dados: T=20^\circ\text{C}=293\\ \text{K}. Vamos usar as molalidades dadas; para solução muito diluída podemos aproximar que 1\\ \text{kg} de água ocupa aproximadamente 1\\ \text{L}, portanto molalidade ≈ molaridade (explico isso adiante).
O que precisamos calcular:
  • (a) a molaridade c (em mol/dm ^3 que é mol/L) para NaCl que dá \pi=7\\ \text{atm} a 310\\ \text{K}.
  • (b) a pressão osmótica \pi da água do mar a 293\\ \text{K} usando as molalidades dadas e contando todos os íons gerados por cada sal.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • A pressão osmótica de uma solução diluída ideal é dada pela lei de van ’t Hoff:
\pi = i\,c\,R\,T
onde:
  • \pi é a pressão osmótica (em atm),
  • i é o fator de van ’t Hoff (número efetivo de partículas por fórmula do soluto após dissociação; para um eletrólito ideal é o número de íons resultantes),
  • c é a molaridade da solução (em mol/L),
  • R é a constante dos gases na unidade conveniente; vamos usar R=0,08206\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1},
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Explicando com calma:
  • Para um soluto molecular não iônico, i\approx1. Para um sal como NaCl que se dissocia totalmente em Na ^+ e Cl ^-, i\approx2. Essa fórmula é análoga à equação dos gases ideais pV=nRT convertida para concentração: a pressão osmótica comporta-se como a pressão exercida pelas partículas solutas no “volume” disponível.
  • Quando o enunciado dá molalidades em mol/kg de solvente e o sistema é muito diluído, pode-se aproximar que 1\\ \text{kg} de água tem volume \approx1\\ \text{L} (densidade da água próximas a 1\\ \text{kg/L}), então molalidade \approx molaridade. Isso simplifica bastante e é aceitável para estimativas.

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo — isotonismo do sangue com solução de NaCl.
  • Reescrevendo a fórmula para c:
c=\frac{\pi}{i\,R\,T}.
  • Para NaCl idealmente dissociado, i=2. Substituindo \pi=7\\ \text{atm}, R=0,08206\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} e T=310\\ \text{K}:
c=\frac{7}{2\times0,08206\times310}.
  • Calculemos o denominador em etapas:
0,08206\times310=25,4486,
2\times25,4486=50,8972.
  • Portanto
c=\frac{7}{50,8972}\approx0,137\\ \text{mol/L}.
  • Arredondando com razoável precisão para uso prático:
c\approx0,138\\ \text{mol/dm}^{3}.
Interpretação e comparação:
  • O valor prático usado para soro fisiológico é 0,15\\ \text{mol/dm}^{3}. Nossa estimativa 0,138\\ \text{mol/dm}^{3} está bem próxima — a pequena diferença decorre de simplificações: assumimos dissociação completa, idealidade (sem efeitos de força iônica), e usamos i=2 exatamente. Na realidade há pequenas correções por não-idealidade (atividades), composição iônica mais complexa do sangue, e por convenções práticas de formulação farmacêutica; por isso 0,15 é razoavelmente coerente com a estimativa teórica.

Passo 4

Resolvendo (b) passo a passo — pressão osmótica da água do mar.
  • Plano: para cada sal, determinar quantos íons produz por fórmula e multiplicar pela molalidade para obter a concentração efetiva de partículas (em mol de partículas por kg de água). Somar todas as contribuições para obter a concentração total de partículas \approx mol/L (pela aproximação 1 kg de água ≈ 1 L). Finalmente aplicar \pi= c_{\text{efetivo}} R T com T=293\\ \text{K}.
  • Primeiro, o número de íons por fórmula (assumindo dissociação completa e sem emparelhamento):
    • NaCl \to Na ^+ + Cl ^- i=2.
    • MgCl _2 \to Mg ^{2+} + 2Cl ^- i=3.
    • MgSO _4 \to Mg ^{2+} + SO _4^{2-} i=2.
    • CaSO _4 \to Ca ^{2+} + SO _4^{2-} i=2.
  • Multiplicando cada molalidade pelo respectivo i (vou escrever cada produto):
\begin{aligned} \text{NaCl: } & 2\times0,460 = 0,920,\\[4pt] \text{MgCl}_2: & 3\times0,034 = 0,102,\\[4pt] \text{MgSO}_4: & 2\times0,019 = 0,038,\\[4pt] \text{CaSO}_4: & 2\times0,009 = 0,018. \end{aligned}
  • Somando as contribuições para obter a concentração total de partículas (em mol de partículas por kg de água, que aproximamos como mol/L):
c_{\text{efetivo}} = 0,920+0,102+0,038+0,018 = 1,078\\ \text{mol/L (aprox.)}.
(Nota: declarei explicitamente que peguei as molalidades do enunciado para esses cálculos.)
  • Agora aplicamos a lei de van ’t Hoff com c=c_{\text{efetivo}}, R=0,08206 e T=293\\ \text{K}:
\pi = c_{\text{efetivo}}\,R\,T = 1,078\times0,08206\times293.
  • Calculemos em etapas:
0,08206\times293=24,0436,
\pi=1,078\times24,0436\approx25,92\\ \text{atm}.
  • Arredondando:
\pi\approx26\\ \text{atm}.
Comentários sobre a aproximação:
  • A aproximação molalidade \approx molaridade é razoável porque 1\\ \text{kg} de água ocupa aproximadamente 1\\ \text{L} a 20^\circ\text{C}. Para maior precisão seria necessário converter molalidade em molaridade usando a densidade da solução (que difere de 1) e considerar desvios da idealidade (atividade dos íons, emparelhamento). Mesmo assim, o valor obtido \sim26\\ \text{atm} está na ordem esperada para a água do mar (algumas referências dão valores na faixa de 25 30\\ \text{atm}).]

Resposta

(a) c\approx0,138\\ \text{mol/dm}^{3} (estimado), comparável ao valor prático 0,15\\ \text{mol/dm}^{3}.
(b) \pi\approx26\\ \text{atm} (pressão osmótica estimada da água do mar a 20^\circ\text{C}).

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