y[k]-3 y[k-1]+2 y[k-2]=e[k],
em que:
  • e[k]=l1, para k=0,1, 0, para k >= 2 ;
  • y[-2]=y[-1]=0.
    Determine y[k] (resolver a equação a diferenças), utilizando:
    a) A técnica sequencial (iteração da sequência), para k=0 até 10;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferenças que você me enviou! A equação é:
y[k] - 3y[k-1] + 2y[k-2] = e[k],
onde:
e[k] = 1, & para k = 0,1, 0, & para k >= 2;
E sabemos que y[-2] = y[-1] = 0. Para resolver isso, vamos usar a técnica sequencial, ou seja, calcular passo a passo os valores de y[k] para k de 0 até 10. Vamos precisar aplicar a fórmula da equação de diferenças e usar as condições iniciais que temos.

Passo 2

Calculando y[0]:
Vamos substituir k = 0 na equação:
y[0] - 3y[-1] + 2y[-2] = e[0]
Sabemos que y[-1] = 0 e y[-2] = 0, e e[0] = 1. Então:
y[0] - 0 + 0 = 1 y[0] = 1

Passo 3

Calculando y[1]:
Substituindo k = 1:
y[1] - 3y[0] + 2y[-1] = e[1]
Sabemos que y[0] = 1, y[-1] = 0, e e[1] = 1. Então:
y[1] - 3(1) + 0 = 1 y[1] - 3 = 1 y[1] = 4

Passo 4

Calculando y[2]:
Agora, k = 2:
y[2] - 3y[1] + 2y[0] = e[2]
Sabemos que y[1] = 4, y[0] = 1, e e[2] = 0. Então:
y[2] - 3(4) + 2(1) = 0 y[2] - 12 + 2 = 0 y[2] - 10 = 0 y[2] = 10

Passo 5

Calculando y[3]:
Para k = 3:
y[3] - 3y[2] + 2y[1] = e[3]
Sabemos que y[2] = 10, y[1] = 4, e e[3] = 0. Então:
y[3] - 3(10) + 2(4) = 0 y[3] - 30 + 8 = 0 y[3] - 22 = 0 y[3] = 22

Passo 6

Calculando y[4]:
Para k = 4:
y[4] - 3y[3] + 2y[2] = e[4]
Sabemos que y[3] = 22, y[2] = 10, e e[4] = 0. Então:
y[4] - 3(22) + 2(10) = 0 y[4] - 66 + 20 = 0 y[4] - 46 = 0 y[4] = 46

Passo 7

Calculando y[5]:
Para k = 5:
y[5] - 3y[4] + 2y[3] = e[5]
Sabemos que y[4] = 46, y[3] = 22, e e[5] = 0. Então:
y[5] - 3(46) + 2(22) = 0 y[5] - 138 + 44 = 0 y[5] - 94 = 0 y[5] = 94

Passo 8

Calculando y[6]:
Para k = 6:
y[6] - 3y[5] + 2y[4] = e[6]
Sabemos que y[5] = 94, y[4] = 46, e e[6] = 0. Então:
y[6] - 3(94) + 2(46) = 0 y[6] - 282 + 92 = 0 y[6] - 190 = 0 y[6] = 190

Passo 9

Calculando y[7]:
Para k = 7:
y[7] - 3y[6] + 2y[5] = e[7]
Sabemos que y[6] = 190, y[5] = 94, e e[7] = 0. Então:
y[7] - 3(190) + 2(94) = 0 y[7] - 570 + 188 = 0 y[7] - 382 = 0 y[7] = 382

Passo 10

Calculando y[8]:
Para k = 8:
y[8] - 3y[7] + 2y[6] = e[8]
Sabemos que y[7] = 382, y[6] = 190, e e[8] = 0. Então:
y[8] - 3(382) + 2(190) = 0 y[8] - 1146 + 380 = 0 y[8] - 766 = 0 y[8] = 766

Passo 11

Calculando y[9]:
Para k = 9:
y[9] - 3y[8] + 2y[7] = e[9]
Sabemos que y[8] = 766, y[7] = 382, e e[9] = 0. Então:
y[9] - 3(766) + 2(382) = 0 y[9] - 2298 + 764 = 0 y[9] - 1534 = 0 y[9] = 1534

Passo 12

Calculando y[10]:
Para k = 10:
y[10] - 3y[9] + 2y[8] = e[10]
Sabemos que y[9] = 1534, y[8] = 766, e e[10] = 0. Então:
y[10] - 3(1534) + 2(766) = 0 y[10] - 4602 + 1532 = 0 y[10] - 3070 = 0 y[10] = 3070

Resposta

Os valores de y[k] de k = 0 até 10 são:
y[0] &= 1, y[1] &= 4, y[2] &= 10, y[3] &= 22, y[4] &= 46, y[5] &= 94, y[6] &= 190, y[7] &= 382, y[8] &= 766, y[9] &= 1534, y[10] &= 3070

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