Y(z)X(z)=(T2)(z+1z-1)
  1. a) A função de transferência para o integrador da regra do retângulo do lado direito é definida como:
Y(z)X(z)=T zz-1
Suponhamos que o inverso dessa função de transferência gerasse a aproximação numérica de um diferenciador. Isto é, se w[k T] representar a derivada numérica de x(t), em t=k T, ou seja,
W(z)X(z)=z-1T z
Escreva a equação a diferença que descreve este diferenciador.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a equação de diferença que descreve um diferenciador. A função de transferência dada é:
W(z)X(z) = z - 1T z
Aqui, estamos trabalhando com transformadas Z, que nos ajudam a relacionar sinais no domínio do tempo discreto. Vamos precisar entender como passar dessa função de transferência para uma equação no tempo real, ou seja, uma equação de diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de transferência para deixar W(z) = z - 1T z cdot X(z) isolado:
Isso significa que a saída está relacionada à entrada através desse fator multiplicativo.

Passo 3

Agora, para passar do domínio da frequência (transformada Z) para o domínio do tempo, aplicamos a transformada Z inversa. Sabemos que multiplicar por w[k] = 1T ( x[k] - x[k - 1] ) na transformada Z é equivalente a atrasar a sequência de uma amostra no tempo. Então, reescrevemos a equação da seguinte forma:
Aqui, é a saída no tempo e é a entrada no mesmo instante. A expressão representa a diferença entre a entrada atual e a anterior, e ao dividir por estamos normalizando pela constante de tempo.

Resposta

A equação de diferença que descreve o diferenciador é:
w[k T] = 1T ( x[k T] - x[(k - 1) T] )

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