12.29 Um bocal convergente-divergente está ligado a um tanque de ar muito grande no qual a pressão é de 20 psia e a temperatura é de
. O bocal descarrega para a atmosfera onde a pressão é de
. A área de saída do bocal é de 2 pol.
Qual é a vazão através do bocal? Admita que o escoamento é isoentrópico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido, bem mastigado):
- Pressão no tanque (reservatório grande):
. - Temperatura no tanque:
. - Pressão ambiente (descarga):
. - Área de saída do bocal:
. - O escoamento é isoentrópico (sem perda de entropia, fluxo de gás ideal).
- O que a questão pede: “Qual é a vazão através do bocal?” — ou seja, a vazão mássica que passa pelo bocal (vou calcular a vazão mássica
; também apresento a vazão volumétrica na saída para ajudar na intuição).
Observações numéricas que vou usar (conversões):
-
. -
. - Temperatura absoluta:
. - Propriedades do ar (adotadas):
e .
Passo 2
Primeiro converto as grandezas para o SI (prático para cálculo):
-
-
(reconhecemos que isto é exatamente a pressão atmosférica padrão) -
-
Passo 3
Explicando a ideia física e a relação isentrópica que vamos usar (aulas rápidas):
- Num escoamento isoentrópico de gás perfeito, a relação entre a pressão total (estagnação)
e a pressão estática em qualquer seção é
onde
é o número de Mach nessa seção,
é a razão de calores (para ar,
).
- Logo, conhecendo
e podemos calcular o número de Mach na saída resolvendo essa equação para . Esse passo é central porque a velocidade de saída está ligada a pela relação
e a velocidade do som local é
onde
é a temperatura estática na saída dada por
- Por fim, a vazão mássica é dada por
com
.
Passo 4
Calculo do número de Mach na saída resolvendo a relação pressão–Mach. Escrevo a equação e isolo
:
Substituo
e os valores numéricos:
Agora tomo potência
em ambos os lados:
Faço a conta (detalhando):
. Multiplicando por
dá
. Exponenciando:
Logo
Assim
Interpretação física rápida: o número de Mach na saída é
, ou seja, subsonico; portanto o bocal NÃO está chocado (não foi necessário considerar escoamento crítico/saturado).
Passo 5
Calculo da temperatura estática na saída
usando a relação entre
e
:
Substituindo:
Passo 6
Calculo da velocidade do som e da velocidade do fluxo na saída:
Faço a conta por partes:
. Multiplicando por
obtém-se
. A raiz dá
Então a velocidade de escoamento:
Passo 7
Calculo da densidade na saída
e finalmente da vazão mássica
:
Densidade (ideal):
Densidade (ideal):
Calculo:
(já usado), então
Agora a vazão mássica:
Faço as multiplicações em ordem:
. Multiplicando pela área:
Passo 8
Dou algumas conversões úteis (pra prova e intuição):
- Vazão mássica arredondada:
- Em unidades inglesas (lbm/s):
- Vazão volumétrica na saída:
Se estiver na prova e quiser só o número principal, o que geralmente pedem é
.