12.29 Um bocal convergente-divergente está ligado a um tanque de ar muito grande no qual a pressão é de 20 psia e a temperatura é de 40^{\circ} \mathrm{F}. O bocal descarrega para a atmosfera onde a pressão é de 14,7 \mathrm{psia}. A área de saída do bocal é de 2 pol. { }^{2} Qual é a vazão através do bocal? Admita que o escoamento é isoentrópico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido, bem mastigado):
  • Pressão no tanque (reservatório grande): \,p_0=20{,}0\\ \mathrm{psia}.
  • Temperatura no tanque: \,T_0=40^\circ\mathrm{F}.
  • Pressão ambiente (descarga): \,p_e=14{,}7\\ \mathrm{psia}.
  • Área de saída do bocal: \,A_e=2\\ \mathrm{pol.^2}.
  • O escoamento é isoentrópico (sem perda de entropia, fluxo de gás ideal).
  • O que a questão pede: “Qual é a vazão através do bocal?” — ou seja, a vazão mássica que passa pelo bocal (vou calcular a vazão mássica \dot{m}; também apresento a vazão volumétrica na saída para ajudar na intuição).
Observações numéricas que vou usar (conversões):
  • 1\\ \mathrm{psi}=6894{,}76\\ \mathrm{Pa}.
  • 1\\ \mathrm{pol.}=0{,}0254\\ \mathrm{m}\Rightarrow 1\\ \mathrm{pol.^2}=6{,}4516\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Temperatura absoluta: T(\mathrm{K}) = (T(^{\circ}\mathrm{F})-32)\times5/9 + 273{,}15.
  • Propriedades do ar (adotadas): \gamma=1{,}4 e R=287{,}06\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Primeiro converto as grandezas para o SI (prático para cálculo):
  • p_0=20{,}0\\ \mathrm{psia} = 20{,}0\times6894{,}76 = 137895\\ \mathrm{Pa}.
  • p_e=14{,}7\\ \mathrm{psia} = 14{,}7\times6894{,}76 = 101325\\ \mathrm{Pa}. (reconhecemos que isto é exatamente a pressão atmosférica padrão)
  • T_0=40^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_0=(40-32)\times\frac{5}{9}+273{,}15 = 277{,}594\\ \mathrm{K}.
  • A_e=2\\ \mathrm{pol.^2} = 2\times6{,}4516\times10^{-4}=1{,}29032\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Explicando a ideia física e a relação isentrópica que vamos usar (aulas rápidas):
  • Num escoamento isoentrópico de gás perfeito, a relação entre a pressão total (estagnação) p_0 e a pressão estática p em qualquer seção é
\frac{p_0}{p} = \left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}},
onde M é o número de Mach nessa seção, \gamma é a razão de calores (para ar, 1{,}4).
  • Logo, conhecendo p_0 e p_e podemos calcular o número de Mach na saída M_e resolvendo essa equação para M. Esse passo é central porque a velocidade de saída está ligada a M_e pela relação
V_e = M_e\; a_e,
e a velocidade do som local é
a_e = \sqrt{\gamma R T_e},
onde T_e é a temperatura estática na saída dada por
T_e = \frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_e^2}.
  • Por fim, a vazão mássica é dada por
\dot{m} = \rho_e V_e A_e,
com \rho_e = \dfrac{p_e}{R T_e}.

Passo 4

Calculo do número de Mach na saída resolvendo a relação pressão–Mach. Escrevo a equação e isolo M:
\frac{p_0}{p_e} = \left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Substituo \gamma=1{,}4 e os valores numéricos:
\frac{137895}{101325} = 1{,}3605 \approx \left(1+0{,}2\,M_e^2\right)^{3{,}5}.
Agora tomo potência 1/3{,}5 em ambos os lados:
1+0{,}2\,M_e^2 = (1{,}3605)^{1/3{,}5}.
Faço a conta (detalhando): \ln(1{,}3605)=0{,}3083. Multiplicando por 1/3{,}5\approx0{,}285714 0{,}08809. Exponenciando:
(1{,}3605)^{1/3{,}5} = e^{0{,}08809} \approx 1{,}0920.
Logo
1+0{,}2\,M_e^2 = 1{,}0920 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2\,M_e^2 = 0{,}0920.
Assim
M_e^2 = \frac{0{,}0920}{0{,}2}=0{,}460 \quad\Rightarrow\quad M_e = \sqrt{0{,}460}=0{,}678.
Interpretação física rápida: o número de Mach na saída é M_e\approx0{,}678, ou seja, subsonico; portanto o bocal NÃO está chocado (não foi necessário considerar escoamento crítico/saturado).

Passo 5

Calculo da temperatura estática na saída T_e usando a relação entre T_0 e T_e:
T_e = \frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_e^2}.
Substituindo:
T_e = \frac{277{,}594}{1+0{,}2\cdot0{,}460} = \frac{277{,}594}{1{,}092} = 254{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calculo da velocidade do som e da velocidade do fluxo na saída:
a_e = \sqrt{\gamma R T_e} = \sqrt{1{,}4 \times 287{,}06 \times 254{,}2}.
Faço a conta por partes: 287{,}06\times254{,}2 = 72\,921{,}8. Multiplicando por 1{,}4 obtém-se 102\,090{,}6. A raiz dá
a_e \approx 319{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Então a velocidade de escoamento:
V_e = M_e\, a_e = 0{,}678 \times 319{,}4 \approx 216{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calculo da densidade na saída \rho_e e finalmente da vazão mássica \dot{m}:
Densidade (ideal):
\rho_e = \frac{p_e}{R T_e} = \frac{101325}{287{,}06\times254{,}2}.
Calculo: 287{,}06\times254{,}2=72\,921{,}8 (já usado), então
\rho_e = \frac{101325}{72\,921{,}8} \approx 1{,}3896\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora a vazão mássica:
\dot{m} = \rho_e\, V_e\, A_e = 1{,}3896 \times 216{,}7 \times 1{,}29032\times10^{-3}.
Faço as multiplicações em ordem: 1{,}3896\times216{,}7 \approx 300{,}9. Multiplicando pela área:
\dot{m} \approx 300{,}9 \times 1{,}29032\times10^{-3} = 0{,}3884\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Dou algumas conversões úteis (pra prova e intuição):
  • Vazão mássica arredondada: \dot{m}\approx0{,}388\\ \mathrm{kg/s}.
  • Em unidades inglesas (lbm/s): 0{,}3884\\ \mathrm{kg/s}\times2{,}20462\approx0{,}856\\ \mathrm{lbm/s}.
  • Vazão volumétrica na saída: \dot{V}=V_e A_e \approx 216{,}7\times1{,}29032\times10^{-3}\approx0{,}2796\\ \mathrm{m^3/s}\approx9{,}88\\ \mathrm{ft^3/s}.
Se estiver na prova e quiser só o número principal, o que geralmente pedem é \dot{m}.

Resposta

\dot{m}=0{,}388\\ \mathrm{kg/s}

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