3-Um cilindro aquecido a 150^{\circ} \mathrm{C} tendo 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro é colocado numa corrente de ar atmosférico a 1 atm e 38^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do ar é 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a perda de calor por metro de comprimento do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a perda de calor por metro de comprimento de um cilindro aquecido. Dados fornecidos:
  • Temperatura do cilindro: T_s = 150^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 38^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: 1\\ \mathrm{atm} (constante, utilizada para propriedades do ar).
  • Velocidade do ar: U_\infty = 30\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro do cilindro: D = 2,5\\ \mathrm{cm} = 0,025\\ \mathrm{m}.
    O que se pede:
  • Calcular a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro (energia por metro), ou seja q' em \mathrm{W/m}.

Passo 2

Observação sobre o procedimento (sem resolver ainda): para um cilindro em escoamento uniforme de ar usaremos convecção externa. A taxa de perda de calor por unidade de comprimento é dada por
q' = h \, (\text{área de superfície por unidade de comprimento}) \, (T_s - T_\infty).áí
Para um cilindro a área de superfície por unidade de comprimento é o perímetro, isto é \pi D. Assim
q' = h\,\pi D\,(T_s - T_\infty).
Logo precisamos encontrar o coeficiente de transferência de calor por convecção h. Para isso usamos uma correlação empírica que dá o número de Nusselt Nu_D em função de números adimensionais (Reynolds e Prandtl), e depois \displaystyle h = \frac{Nu_D\,k}{D}, onde k é a condutividade térmica do ar no filme térmico.

Passo 3

Escolha da temperatura para propriedades (filme térmico) e justificativa didática:
  • Quando a superfície e o fluido têm temperaturas muito diferentes usa-se a temperatura de filme \displaystyle T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} para avaliar propriedades do fluido (viscosidade, condutividade, etc.). Aqui
T_f = \frac{150 + 38}{2} = 94^\circ\mathrm{C}.
Explicação curta: propriedades dependem da temperatura; usar T_f é prática comum para médias.

Passo 4

Escolha e valores aproximados das propriedades do ar em T_f (valores típicos de tabelas de propriedades do ar a 94^\circ\mathrm{C}, aproximações usadas para cálculo manual):
  • Condutividade térmica: k \approx 0,030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Número de Prandtl: \Pr \approx 0,71.
  • Cinemática (viscosidade cinemática): \nu \approx 2,29\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
    Comentário didático: \nu é \nu=\mu/\rho (viscosidade dinâmica sobre densidade). Aqui forneci \nu já calculada a partir de valores típicos em T_f. Esses números são usados em muitas tabelas; pequenas variações na escolha não mudam a ordem de grandeza do resultado.

Passo 5

Cálculo do número de Reynolds e interpretação:
  • Fórmula: \displaystyle Re_D = \frac{U_\infty D}{\nu}.
  • Substituindo os valores:
Re_D = \frac{30 \times 0,025}{2,29\times 10^{-5}}.
Calculemos:
30\times 0,025 = 0,75,
Re_D = \frac{0,75}{2,29\times 10^{-5}} \approx 3,275\times 10^{4}.
Interpretação: Re_D \approx 3,28\times 10^{4} — escoamento na faixa compressível para cilindros onde o regime é transitório/turbulento no entorno do corpo; assim usamos uma correlação válida em ampla faixa de Re.

Passo 6

Escolha da correlação para Nu_D e justificativa:
  • Vou usar a correlação de Churchill e Bernstein (muito usada para cilindro em escoamento externo, válida em ampla faixa de Re e \Pr):
Nu_D = 0,3 + \frac{0,62\,Re_D^{1/2}\Pr^{1/3}}{\big[1 + (0,4/\Pr)^{2/3}\big]^{1/4}}\left[1 + \left(\frac{Re_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Explicação didática: Nu_D é o número de Nusselt (análoga adimensional de h); Re_D controla o caráter do escoamento e \Pr é razão entre difusão de momento e difusão térmica. A correlação combina comportamentos em várias escalas e é prática para cálculos sem simulação.

Passo 7

Cálculo passo a passo de Nu_D:
  • Primeiro Re_D^{1/2} \approx \sqrt{3,275\times 10^{4}} \approx 181,0.
  • \Pr^{1/3} \approx 0,71^{1/3} \approx 0,892.
  • Produto na parte superior:
0,62\times 181,0\times 0,892 \approx 100,13.
  • Denominador intermédio:
1 + (0,4/\Pr)^{2/3} = 1 + (0,4/0,71)^{2/3} \approx 1 + 0,682 \approx 1,682,
\big[1,682\big]^{1/4} \approx 1,14.
  • Primeira fração:
\frac{100,13}{1,14} \approx 87,9.
  • Fator final:
\left[1 + \left(\frac{Re_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} = \left[1 + \left(\frac{3,275\times 10^{4}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Calcule a razão:
\frac{3,275\times 10^{4}}{282000} \approx 0,1162,
0,1162^{5/8} \approx 0,260 \quad\Rightarrow\quad 1 + 0,260 = 1,260,
1,260^{4/5} \approx 1,203.
  • Portanto a contribuição multiplicativa é 1,203 e a parte grande vale
87,9\times 1,203 \approx 105,8.
  • Finalmente:
Nu_D \approx 0,3 + 105,8 \approx 106,1.

Passo 8

Cálculo do coeficiente convectivo h:
  • Relação: \displaystyle h = \frac{Nu_D\,k}{D}.
  • Substituindo Nu_D \approx 106,1, k \approx 0,030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, D = 0,025\\ \mathrm{m}:
h = \frac{106,1\times 0,030}{0,025} = 106,1\times \frac{0,030}{0,025}.
  • Como \displaystyle \frac{0,030}{0,025}=1,2,
h \approx 106,1\times 1,2 \approx 127,3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário didático: esse valor de h é razoável para ar em escoamento rápido sobre um cilindro.

Passo 9

Cálculo da perda de calor por metro de comprimento q':
  • Fórmula já dada:
q' = h\,\pi D\,(T_s - T_\infty).
  • Diferença de temperatura:
T_s - T_\infty = 150 - 38 = 112\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Substituindo h \approx 127,3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, D = 0,025\\ \mathrm{m}:
q' = 127,3 \times \pi \times 0,025 \times 112.
  • Calcule \pi D = \pi\times 0,025 \approx 0,07854.
  • Então
127,3\times 0,07854 \approx 9,9996,
q' \approx 9,9996 \times 112 \approx 1\,119,95\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
q' \approx 1,12\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

1,12\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m}

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