Um cilindro de argila de 2 ft de comprimento por
de diâmetro é colocado numa corrente de ar seco para fins de secagem. A composição inicial de água ao longo do cilindro é uniforme e vale
em peso, e a composição desejada no final (no centro do corpo) é de
em peso. Sobre as condições de secagem especificadas, o processo será controlado pela difusão interna da água até a superfície do corpo. A difusividade da água através da argila, nas condições do experimento vale
?/h. O conteúdo em umidade da superfície do corpo permanecerá constante através do processo em 3% em peso. Determine o tempo necessário para operação de secagem se:
a) a secagem ocorrer somente pela face lateral do cilindro.
b) A secagem ocorrer tanto pela face lateral como pelas bases do cilindro.
a) a secagem ocorrer somente pela face lateral do cilindro.
b) A secagem ocorrer tanto pela face lateral como pelas bases do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o tempo de secagem necessário para que o centro do cilindro passe de um conteúdo de água inicial de
(peso) até
(peso), sabendo que a superfície do corpo está mantida constante em
(peso) e que o processo é controlado pela difusão interna da água. Os dados fornecidos são:
- comprimento do cilindro:
. - diâmetro do cilindro:
. - composição inicial (uniforme):
(peso). - composição desejada no centro:
(peso). - composição na superfície (constante):
(peso). - difusividade efetiva da água na argila: vou tomar o valor dado como
(valor fornecido no enunciado). - Convenções de conversão (passarei para SI para os cálculos):
.
As perguntas pedidas são:
a) tempo necessário se a secagem ocorrer somente pela face lateral (curva) do cilindro;
b) tempo necessário se a secagem ocorrer pela face lateral e também pelas bases (ou seja, toda a superfície do cilindro participa da remoção de água).
a) tempo necessário se a secagem ocorrer somente pela face lateral (curva) do cilindro;
b) tempo necessário se a secagem ocorrer pela face lateral e também pelas bases (ou seja, toda a superfície do cilindro participa da remoção de água).
Passo 2
Preparação: converter as dimensões para metros e calcular o raio e distância relevantes.
- comprimento
. - diâmetro
. - raio
. - armazeno
(aprox.).
Também calculo a fração adimensional que o centro deve atingir, usando a normalização usual
Substituo valores:
Esse é o valor adimensional que o centro deve atingir.
Passo 3
Teoria para o caso (a) — só face lateral:
Quando a secagem é controlada pela difusão interna e a remoção ocorre apenas pela superfície lateral do cilindro, podemos modelar como difusão radial em um cilindro “infinito” (isto é, desprezando variação axial), com condição de superfície mantida em concentração constante . A solução de separação de variáveis (Crank, solução clássica) para a concentração normalizada no centro (
) é dada pela série
Quando a secagem é controlada pela difusão interna e a remoção ocorre apenas pela superfície lateral do cilindro, podemos modelar como difusão radial em um cilindro “infinito” (isto é, desprezando variação axial), com condição de superfície mantida em concentração constante
onde
são as raízes de
(função de Bessel de 1ª espécie e ordem zero) e
é a função de Bessel de ordem um. Para tempos moderadamente grandes o primeiro termo da série domina, portanto podemos aproximar usando apenas
:
Valores numéricos conhecidos:
e
. Assim o coeficiente frontal vale
Passo 4
Uso a aproximação de primeiro termo para encontrar o tempo necessário: imponho
. Então
Isolo
:
Agora substituo valores numéricos:
-
, -
, -
, -
, -
.
Cálculo intermediário:
Portanto
Faço a conta numérica:
Convertendo para dias:
.
Comentário prático: esse tempo muito longo decorre da difusividade relativamente pequena e do raio considerável do cilindro — faz sentido físico: difusão é lenta.
Passo 5
Abordagem para o caso (b) — lateral + bases:
Quando a massa pode escapar por toda a superfície (lateral e bases), a geometria efetiva favorece a remoção porque a área de saída aumenta e a distância média até a superfície diminui. Uma forma prática e comumente usada para estimar tempos de difusão em corpos de forma arbitrária é introduzir um comprimento característico definido pela razão volume/superfície,
Quando a massa pode escapar por toda a superfície (lateral e bases), a geometria efetiva favorece a remoção porque a área de saída aumenta e a distância média até a superfície diminui. Uma forma prática e comumente usada para estimar tempos de difusão em corpos de forma arbitrária é introduzir um comprimento característico definido pela razão volume/superfície,
onde
é o volume do sólido e
é a área total pela qual ocorre a transferência (nesse caso: lateral + duas bases). A razão é que
representa uma distância média que a matéria precisa percorrer até escapar pela superfície — é uma aproximação amplamente usada em engenharia para estimativas de ordem de grandeza quando a solução exata da equação de difusão em 3D é complicada. Vou adotar essa aproximação para estimar o tempo no caso (b), usando o mesmo valor adimensional
obtido no Passo 2 (supõe-se que a mesma escala adimensional de decaimento se aplica, mas com
no lugar do raio).
Calculo
e
do cilindro:
Substituo números:
-
, -
. -
. -
. -
.
Logo
Passo 6
Estimativa do tempo usando
como comprimento característico:
No Passo 4, definimos o número de Fourier (adimensional) . Para o centro atingir a mesma
estima-se que se deva ter o mesmo valor de
requerido — no caso (a) encontramos implicitamente
como
No Passo 4, definimos o número de Fourier (adimensional)
Para o caso (b) substituo o comprimento característico por
, assumindo que o
necessário é da mesma ordem:
Substituo valores:
-
, -
, -
.
Logo
Em dias:
.
Observação: essa é uma estimativa aproximada (mas razoável) — uma solução exata exigiria resolver a equação de difusão em coordenadas cilíndricas em 2D (radial + axial) com condições de contorno nas superfícies; para uma prova muitos cursos aceitam a aproximação via
para geometria onde todas as superfícies participam.
Resposta
a)
b)
b)