Um cilindro de argila de 2 ft de comprimento por 1,5 \mathrm{ft} de diâmetro é colocado numa corrente de ar seco para fins de secagem. A composição inicial de água ao longo do cilindro é uniforme e vale 14 \% em peso, e a composição desejada no final (no centro do corpo) é de 7 \% em peso. Sobre as condições de secagem especificadas, o processo será controlado pela difusão interna da água até a superfície do corpo. A difusividade da água através da argila, nas condições do experimento vale 5.10 € \mathrm{~m} ?/h. O conteúdo em umidade da superfície do corpo permanecerá constante através do processo em 3% em peso. Determine o tempo necessário para operação de secagem se:
a) a secagem ocorrer somente pela face lateral do cilindro.
b) A secagem ocorrer tanto pela face lateral como pelas bases do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o tempo de secagem necessário para que o centro do cilindro passe de um conteúdo de água inicial de \,14\% (peso) até \,7\% (peso), sabendo que a superfície do corpo está mantida constante em \,3\% (peso) e que o processo é controlado pela difusão interna da água. Os dados fornecidos são:
  • comprimento do cilindro: \,2\\ \mathrm{ft}.
  • diâmetro do cilindro: \,1{,}5\\ \mathrm{ft}.
  • composição inicial (uniforme): \,C_0=14\% (peso).
  • composição desejada no centro: \,C(0,t_f)=7\% (peso).
  • composição na superfície (constante): \,C_s=3\% (peso).
  • difusividade efetiva da água na argila: vou tomar o valor dado como \,D_e=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/h} (valor fornecido no enunciado).
  • Convenções de conversão (passarei para SI para os cálculos): \,1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m}.
As perguntas pedidas são:
a) tempo necessário se a secagem ocorrer somente pela face lateral (curva) do cilindro;
b) tempo necessário se a secagem ocorrer pela face lateral e também pelas bases (ou seja, toda a superfície do cilindro participa da remoção de água).

Passo 2

Preparação: converter as dimensões para metros e calcular o raio e distância relevantes.
  • comprimento \,L=2\\ \mathrm{ft}=2\cdot0{,}3048=0{,}6096\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro \,D=1{,}5\\ \mathrm{ft}=1{,}5\cdot0{,}3048=0{,}4572\\ \mathrm{m}.
  • raio \,R=\dfrac{D}{2}=0{,}2286\\ \mathrm{m}.
  • armazeno \,R^2=0{,}2286^2=0{,}052262\\ \mathrm{m^2} (aprox.).
Também calculo a fração adimensional que o centro deve atingir, usando a normalização usual
\theta(t)=\frac{C(0,t)-C_s}{C_0-C_s}.
Substituo valores:
\theta_{\text{alvo}}=\frac{7-3}{14-3}=\frac{4}{11}=0{,}363636\ldots
Esse é o valor adimensional que o centro deve atingir.

Passo 3

Teoria para o caso (a) — só face lateral:
Quando a secagem é controlada pela difusão interna e a remoção ocorre apenas pela superfície lateral do cilindro, podemos modelar como difusão radial em um cilindro “infinito” (isto é, desprezando variação axial), com condição de superfície mantida em concentração constante C_s. A solução de separação de variáveis (Crank, solução clássica) para a concentração normalizada no centro ( r=0) é dada pela série
\theta(0,t)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n J_1(\alpha_n)}\exp\!\left(-\alpha_n^2\frac{D_e t}{R^2}\right),
onde \alpha_n são as raízes de J_0(\alpha)=0 (função de Bessel de 1ª espécie e ordem zero) e J_1 é a função de Bessel de ordem um. Para tempos moderadamente grandes o primeiro termo da série domina, portanto podemos aproximar usando apenas n=1:
\theta(0,t)\approx\frac{2}{\alpha_1 J_1(\alpha_1)}\exp\!\left(-\alpha_1^2\frac{D_e t}{R^2}\right).
Valores numéricos conhecidos: \alpha_1\approx2{,}4048 e J_1(\alpha_1)\approx0{,}5191. Assim o coeficiente frontal vale
A_1=\frac{2}{\alpha_1 J_1(\alpha_1)}\approx\frac{2}{2{,}4048\cdot0{,}5191}\approx1{,}601.

Passo 4

Uso a aproximação de primeiro termo para encontrar o tempo necessário: imponho \theta(0,t)=\theta_{\text{alvo}}. Então
\theta_{\text{alvo}}=A_1\exp\!\left(-\alpha_1^2\frac{D_e t}{R^2}\right).
Isolo t:
\exp\!\left(-\alpha_1^2\frac{D_e t}{R^2}\right)=\frac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1},
-\alpha_1^2\frac{D_e t}{R^2}=\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1}\right),
t=\frac{R^2}{D_e}\cdot\frac{-1}{\alpha_1^2}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1}\right).
Agora substituo valores numéricos:
  • \theta_{\text{alvo}}=0{,}363636,
  • A_1\approx1{,}601,
  • \alpha_1^2\approx2{,}4048^2=5{,}783,
  • R^2=0{,}052262\\ \mathrm{m^2},
  • D_e=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/h}.
Cálculo intermediário:
\frac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1}=\frac{0{,}363636}{1{,}601}\approx0{,}2271,
\ln\!\left(0{,}2271\right)\approx-1{,}481.
Portanto
t=\frac{0{,}052262}{5{,}0\times10^{-6}}\cdot\frac{-1}{5{,}783}\cdot(-1{,}481).
Faço a conta numérica:
\frac{0{,}052262}{5{,}0\times10^{-6}}=10452{,}4\\ \mathrm{h},
\frac{1{,}481}{5{,}783}=0{,}2561,
t\approx10452{,}4\times0{,}2561\approx2676{,}8\\ \mathrm{h}.
Convertendo para dias: \,2676{,}8\\ \mathrm{h}\approx111{,}5\\ \mathrm{dias}.
Comentário prático: esse tempo muito longo decorre da difusividade relativamente pequena e do raio considerável do cilindro — faz sentido físico: difusão é lenta.

Passo 5

Abordagem para o caso (b) — lateral + bases:
Quando a massa pode escapar por toda a superfície (lateral e bases), a geometria efetiva favorece a remoção porque a área de saída aumenta e a distância média até a superfície diminui. Uma forma prática e comumente usada para estimar tempos de difusão em corpos de forma arbitrária é introduzir um comprimento característico definido pela razão volume/superfície,
L_c=\frac{V}{A},
onde V é o volume do sólido e A é a área total pela qual ocorre a transferência (nesse caso: lateral + duas bases). A razão é que L_c representa uma distância média que a matéria precisa percorrer até escapar pela superfície — é uma aproximação amplamente usada em engenharia para estimativas de ordem de grandeza quando a solução exata da equação de difusão em 3D é complicada. Vou adotar essa aproximação para estimar o tempo no caso (b), usando o mesmo valor adimensional \theta_{\text{alvo}} obtido no Passo 2 (supõe-se que a mesma escala adimensional de decaimento se aplica, mas com L_c no lugar do raio).
Calculo V e A do cilindro:
V=\pi R^2 L,\qquad A=2\pi R L + 2\pi R^2.
Substituo números:
  • R^2 L=0{,}052262\cdot0{,}6096=0{,}031849,
  • V=\pi\cdot0{,}031849\approx0{,}10006\\ \mathrm{m^3}.
  • 2\pi R L=2\pi\cdot0{,}2286\cdot0{,}6096\approx0{,}8754\\ \mathrm{m^2}.
  • 2\pi R^2=2\pi\cdot0{,}052262\approx0{,}3283\\ \mathrm{m^2}.
  • A\approx0{,}8754+0{,}3283=1{,}2037\\ \mathrm{m^2}.
Logo
L_c=\frac{V}{A}\approx\frac{0{,}10006}{1{,}2037}\approx0{,}08317\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Estimativa do tempo usando L_c como comprimento característico:
No Passo 4, definimos o número de Fourier (adimensional) \mathrm{Fo}=\dfrac{D_e t}{(\text{comprimento característico})^2}í. Para o centro atingir a mesma \theta_{\text{alvo}} estima-se que se deva ter o mesmo valor de \mathrm{Fo} requerido — no caso (a) encontramos implicitamente \mathrm{Fo} como
\mathrm{Fo}=\frac{D_e t}{R^2}\approx0{,}2561.
Para o caso (b) substituo o comprimento característico por L_c, assumindo que o \mathrm{Fo} necessário é da mesma ordem:
t_b\approx\mathrm{Fo}\cdot\frac{L_c^2}{D_e}.
Substituo valores:
  • L_c^2=0{,}08317^2\approx0{,}006919\\ \mathrm{m^2},
  • \mathrm{Fo}\approx0{,}2561,
  • D_e=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/h}.
Logo
t_b\approx0{,}2561\cdot\frac{0{,}006919}{5{,}0\times10^{-6}}\approx0{,}2561\cdot1383{,}9\approx354{,}4\\ \mathrm{h}.
Em dias: \,354{,}4\\ \mathrm{h}\approx14{,}8\\ \mathrm{dias}.
Observação: essa é uma estimativa aproximada (mas razoável) — uma solução exata exigiria resolver a equação de difusão em coordenadas cilíndricas em 2D (radial + axial) com condições de contorno nas superfícies; para uma prova muitos cursos aceitam a aproximação via L_c=V/A para geometria onde todas as superfícies participam.

Resposta

a) t\approx2{,}68\times10^{3}\\ \mathrm{h}\approx111{,}5\\ \mathrm{dias}
b) t\approx3{,}54\times10^{2}\\ \mathrm{h}\approx14{,}8\\ \mathrm{dias}

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