Um mole de um gás ideal passa por uma expansão isotérmica. Encontre o calor adicionado ao gás em termos dos volumes inicial e final e da temperatura. (Sugestão: Use a primeira lei da termodinâmica.)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o calor adicionado ao gás durante uma expansão isotérmica de uma amostra de um mol de gás ideal, em função dos volumes inicial e final e da temperatura. Informações dadas:
  • Quantidade de matéria: n=1 mol (peguei isso do enunciado).
  • Processo: expansão isotérmica (temperatura constante T).
  • Volumes: volume inicial V_i e volume final V_f (são os parâmetros que queremos que apareçam na resposta).
    A pergunta é: qual é o calor Q adicionado ao gás durante esse processo, escrito em termos de V_i, V_f e T.

Passo 2

Primeira ideia física útil — enunciado da primeira lei da termodinâmica e convenção de signos:
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema;
  • Q é o calor adicionado ao sistema (positivo se calor entra no sistema);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
    Vou explicar a convenção: se o gás se expande e empurra o pistão, ele realiza trabalho, então W>0. A primeira lei simplesmente equaciona a variação de energia interna com calor trocado menos trabalho realizado.

Passo 3

Propriedade do gás ideal que vamos usar: para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal (modelo ideal), a energia interna depende apenas da temperatura. Logo, em um processo isotérmico (temperatura constante) temos:
\Delta U = 0.
Explicando com calma: a energia interna de um gás ideal é função de T apenas; se T não muda, a energia interna não muda. Isso é válido independentemente de reversibilidade.

Passo 4

Aplicando a primeira lei com \Delta U=0:
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Interpretação: todo o calor fornecido ao gás em uma expansão isotérmica é convertido em trabalho realizado pelo gás (num processo sem variação de energia interna).

Passo 5

Agora precisamos calcular o trabalho W feito pelo gás durante a expansão de V_i para V_f. Para um processo (ideal) reversível e quasi-estático, o trabalho é dado pela integral
W = \int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V,
onde P é a pressão do gás que atua sobre o pistão em cada instante. Observação importante e didática: o trabalho é caminho-dependente — sem especificar o caminho (por exemplo, se o processo é irreversível com expansão livre) não dá para obter um valor único. O exercício, ao pedir a expansão isotérmica e sugerir uso da primeira lei, implica o caso usualmente considerado: expansão isotérmica reversível. Então usamos P dada pela lei dos gases ideais no instante.

Passo 6

Usar a equação dos gases ideais para substituir P na integral. A equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão do gás, V o volume instantâneo;
  • n é o número de moles (aqui n=1);
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura (constante no processo).
    Isolando P:
P=\frac{nRT}{V}.
Substituindo na integral do trabalho:
W = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo. Como n, R e T são constantes durante a integração (processo isotérmico), podem sair da integral:
W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,\mathrm{d}V.
A integral de 1/V é o logaritmo natural:
\int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Portanto
W = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 8

Lembrando que n=1 mol (dado do enunciado), obtemos:
W = RT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
E da relação do Passo 4, Q=W, concluímos:
Q = RT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui R é a constante dos gases ( R\approx8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} se precisar de valor numérico), T é a temperatura absoluta (em kelvin), V_i e V_f são volumes inicial e final.

Passo 9

Breve comentário prático e encorajador: se você for responder isso na prova, escreva: “pela primeira lei, \Delta U=0 (isotérmico) então Q=W. Com P=nRT/V e integrando W=\int_{V_i}^{V_f}P\,\mathrm{d}V obtém-se Q= nRT\ln(V_f/V_i). Como n=1, Q=RT\ln(V_f/V_i).” Isso resume a ideia de forma clara e rápida — salva tempo e ganha pontos. Você consegue!

Resposta

Q = R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)

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