Um mole de um gás ideal passa por uma expansão isotérmica. Encontre o calor adicionado ao gás em termos dos volumes inicial e final e da temperatura. (Sugestão: Use a primeira lei da termodinâmica.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o calor adicionado ao gás durante uma expansão isotérmica de uma amostra de um mol de gás ideal, em função dos volumes inicial e final e da temperatura. Informações dadas:
- Quantidade de matéria:
mol (peguei isso do enunciado). - Processo: expansão isotérmica (temperatura constante
). - Volumes: volume inicial
e volume final (são os parâmetros que queremos que apareçam na resposta).
A pergunta é: qual é o caloradicionado ao gás durante esse processo, escrito em termos de , e .
Passo 2
Primeira ideia física útil — enunciado da primeira lei da termodinâmica e convenção de signos:
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema; -
é o calor adicionado ao sistema (positivo se calor entra no sistema); -
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
Vou explicar a convenção: se o gás se expande e empurra o pistão, ele realiza trabalho, então. A primeira lei simplesmente equaciona a variação de energia interna com calor trocado menos trabalho realizado.
Passo 3
Propriedade do gás ideal que vamos usar: para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal (modelo ideal), a energia interna depende apenas da temperatura. Logo, em um processo isotérmico (temperatura constante) temos:
Explicando com calma: a energia interna de um gás ideal é função de
apenas; se
não muda, a energia interna não muda. Isso é válido independentemente de reversibilidade.
Passo 4
Aplicando a primeira lei com
:
Interpretação: todo o calor fornecido ao gás em uma expansão isotérmica é convertido em trabalho realizado pelo gás (num processo sem variação de energia interna).
Passo 5
Agora precisamos calcular o trabalho
feito pelo gás durante a expansão de
para
. Para um processo (ideal) reversível e quasi-estático, o trabalho é dado pela integral
onde
é a pressão do gás que atua sobre o pistão em cada instante. Observação importante e didática: o trabalho é caminho-dependente — sem especificar o caminho (por exemplo, se o processo é irreversível com expansão livre) não dá para obter um valor único. O exercício, ao pedir a expansão isotérmica e sugerir uso da primeira lei, implica o caso usualmente considerado: expansão isotérmica reversível. Então usamos
dada pela lei dos gases ideais no instante.
Passo 6
Usar a equação dos gases ideais para substituir
na integral. A equação dos gases ideais é
onde:
-
é a pressão do gás, o volume instantâneo; -
é o número de moles (aqui ); -
é a constante universal dos gases; -
é a temperatura (constante no processo).
Isolando:
Substituindo na integral do trabalho:
Passo 7
Calcular a integral passo a passo. Como
,
e
são constantes durante a integração (processo isotérmico), podem sair da integral:
A integral de
é o logaritmo natural:
Portanto
Passo 8
Lembrando que
mol (dado do enunciado), obtemos:
E da relação do Passo 4,
, concluímos:
Aqui
é a constante dos gases (
se precisar de valor numérico),
é a temperatura absoluta (em kelvin),
e
são volumes inicial e final.
Passo 9
Breve comentário prático e encorajador: se você for responder isso na prova, escreva: “pela primeira lei,
(isotérmico) então
. Com
e integrando
obtém-se
. Como
,
.” Isso resume a ideia de forma clara e rápida — salva tempo e ganha pontos. Você consegue!