Um pneu de automóvel tem um volume de 1.000 \mathrm{pol}^{3} e contém ar à pressão manométrica de 24,0 \mathrm{lb} / \mathrm{pol}^{2}, quando a temperatura é 0,00^{\circ} \mathrm{C}. Qual a pressão manométrica do ar no pneu, quando sua temperatura sobe para 27^{\circ} \mathrm{C} e seu volume para 1.020 pol { }^{3} ? (Sugestão: Não é necessário converter unidades inglesas para unidades internacionais; por quê? Use P_{\text {atm }}=14,7 \mathrm{lb} / \mathrm{pol}^{2}.)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume inicial: V_1 = 1{,}000\\ \mathrm{pol}^3.
  • Pressão manométrica inicial: P_{g1} = 24{,}0\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.
  • Temperatura inicial: T_1 = 0{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • Volume final: V_2 = 1{,}020\\ \mathrm{pol}^3.
  • Temperatura final: T_2 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica fornecida: P_{\text{atm}} = 14{,}7\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.
Pergunta: qual é a pressão manométrica do ar no pneu após a mudança de temperatura e volume (ou seja, P_{g2})?

Passo 2

Entender pressão manométrica versus pressão absoluta (a teoria necessária).
  • Pressão manométrica (gauge) é a diferença entre a pressão absoluta do gás e a pressão atmosférica que empurra externamente. A relação é
P_{\text{abs}} = P_g + P_{\text{atm}}.
Aqui P_{\text{abs}} é a pressão absoluta do gás, P_g a pressão manométrica e P_{\text{atm}} a pressão atmosférica. Vamos precisar da pressão absoluta porque a lei dos gases ideais usa pressão absoluta.
Cálculo da pressão absoluta inicial (peguei P_{g1} e P_{\text{atm}} do enunciado):
P_{1} = P_{\text{abs},1} = P_{g1} + P_{\text{atm}} = 24{,}0 + 14{,}7 = 38{,}7\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.

Passo 3

Equação dos gases e razão de unidades (por que não é necessário mudar unidades de lb/pol^2 e pol^3).
  • Para mesma massa de gás, a lei dos gases ideais na forma de razão dá:
\frac{P_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}V_{2}}{T_{2}}.
Aqui P é pressão absoluta, V volume, T temperatura absoluta (unidades de temperatura absolutas — por exemplo Kelvin). nR cancela porque é o mesmo gás e mesma quantidade de ar no pneu (presume-se que não houve vazamento).
  • Como vamos usar essa relação por proporção, as unidades de pressão e volume podem permanecer as do enunciado (lb/pol^2 e pol^3), porque aparecem em ambos os lados e se cancelam; o importante é usar temperaturas absolutas (mesma escala que começa em zero absoluto), portanto converteremos Celsius para Kelvin.

Passo 4

Converter temperaturas para a escala absoluta (Kelvin).
T_1 = 0{,}00^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 27^\circ\mathrm{C} = 300{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Isolar P_2 (pressão absoluta final) a partir da relação dos gases e substituir valores.
P_{2} = P_{1}\,\frac{V_{1}}{V_{2}}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.
Substituindo:
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1{,}000}{1{,}020}=0{,}9803921569\ldots
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{300{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}0990
P_{2}=38{,}7\cdot 0{,}9803921569\cdot 1{,}0990\approx 41{,}697\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.

Passo 6

Converter a pressão absoluta final para pressão manométrica final.
P_{g2} = P_{2} - P_{\text{atm}} = 41{,}697\\\ - 14{,}7 \approx 26{,}997\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.
Com o número de algarismos significativos compatível com os dados (três algarismos significativos em 24{,}0), arredondamos para
P_{g2}\approx 27{,}0\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.
Força final de incentivo: você já viu a ideia chave — sempre transformar pressão gauge em absoluta, usar a lei dos gases em proporção e lembrar de temperaturas absolutas. Tá ficando bom — falta pouco!

Resposta

27{,}0\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2

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