12.66
O bécher A contém 0,0100 \mathrm{~mol} de sacarose dissolvido em 100 g de água. O bécher B contém 0,0300 \mathrm{~mol} de sacarose em 100 g de água. Dê o conteúdo de cada bécher em equilíbrio se cada um dos bécheres tem volume de 400 \mathrm{~cm}^{3} e os dois estão em um recipiente selado termicamente condutor.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o conteúdo de cada bécher em equilíbrio. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Bécher A contém \,0{,}0100\\ \mathrm{mol}\, de sacarose dissolvidos em \,100\\ \mathrm{g}\, de água.
  • Bécher B contém \,0{,}0300\\ \mathrm{mol}\, de sacarose em \,100\\ \mathrm{g}\, de água.
  • Cada bécher tem volume \,400\\ \mathrm{cm}^{3}\,.
  • Os dois bécheres estão num recipiente selado e termicamente condutor (podem trocar vapor de água entre si; a temperatura é a mesma).
O que se deve fornecer: a composição de cada bécher em equilíbrio (quantidade de água e de sacarose em cada um, em unidades práticas).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicadinho, passo a passo).
  • Em soluções ideais de um soluto não-volatile (açúcar aqui), o equilíbrio entre duas soluções à mesma temperatura e que possam trocar solvente por vapor ocorre quando a potencial químico do solvente é igual nas duas soluções. Para soluções ideais isso se traduz na igualdade das frações molares do solvente em cada solução.
  • A fórmula para o potencial químico do solvente em solução ideal é
\mu_1=\mu_1^\circ + RT\ln x_1,
onde:
  • \mu_1 é o potencial químico do solvente na solução,
  • \mu_1^\circ é o potencial químico do solvente puro (constante à temperatura dada),
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura (mesma para ambos os bécheres),
  • x_1 é a fração molar do solvente (água).
  • Se \mu_1 é igual nos dois bécheres, então \ln x_{1,A}=\ln x_{1,B} e, portanto,
x_{1,A}=x_{1,B}.
  • Em palavras simples: na validade da aproximação de solução ideal e com sacarose não volátil, a água se distribui entre A e B até que a fração molar da água seja a mesma em ambos. Isso é o que vamos usar para achar a quantidade final de água em cada bécher.

Passo 3

Expressar fração molar da água em cada bécher e escrever a condição de equilíbrio.
  • Denotemos:
    • \,s_A=0{,}0100\\ \mathrm{mol}\, (mols de sacarose no bécher A),
    • \,s_B=0{,}0300\\ \mathrm{mol}\, (mols de sacarose no bécher B),
    • \,w_A\, = moles de água no bécher A no equilíbrio (incógnita),
    • \,w_B\, = moles de água no bécher B no equilíbrio.
  • A fração molar da água no bécher A é
x_{1,A}=\frac{w_A}{w_A+s_A}.
  • A fração molar da água no bécher B é
x_{1,B}=\frac{w_B}{w_B+s_B}.
  • A condição de equilíbrio é
\frac{w_A}{w_A+s_A}=\frac{w_B}{w_B+s_B}.
  • Além disso a água é conservada: se a massa total de água é W (em mols),
w_A+w_B=W.
  • Vamos usar essas duas equações para resolver w_A e w_B. Fazer a álgebra:
\frac{w_A}{w_A+s_A}=\frac{W-w_A}{W-w_A+s_B}.
Multiplicando em cruz:
w_A\,(W-w_A+s_B)=(W-w_A)\,(w_A+s_A).
Expandindo e cancelando o termo comum w_A\,(W-w_A) dos dois lados obtemos
w_A\,s_B = (W-w_A)\,s_A.
Rearranjando:
w_A(s_A+s_B)=s_A\,W.
Logo a solução simples e elegante é
w_A=\frac{s_A}{s_A+s_B}\,W.
E, por conservação,
w_B=W-w_A=\frac{s_B}{s_A+s_B}\,W.
Comentário intuitivo: a água total se divide entre os bécheres na razão das quantidades de soluto — a fração de água que vai para A é igual à fração dos mols de sacarose que estão em A.

Passo 4

Calcular numericamente os moles de água total W e então w_A, w_B.
  • Primeiro, converter \,100\\ \mathrm{g}\, de água para mols usando a massa molar da água \,M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}:
\text{mols de água em um bécher}=\frac{100\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} \approx 5{,}55113\\ \mathrm{mol}.áé
  • Assim a água total é
W=2\times 5{,}55113\\ \mathrm{mol}\approx 11{,}1023\\ \mathrm{mol}.
  • Usando a fórmula encontrada,
w_A=\frac{s_A}{s_A+s_B}\,W=\frac{0{,}0100}{0{,}0100+0{,}0300}\times 11{,}1023 =0{,}25\times 11{,}1023\approx 2{,}7756\\ \mathrm{mol}.
w_B=W-w_A\approx 11{,}1023-2{,}7756\approx 8{,}3267\\ \mathrm{mol}.
  • Converter para massa de água (gramas) multiplicando por 18{,}015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}:
\text{massa de água em A}\approx 2{,}7756\times 18{,}015\\ \mathrm{g}\approx 50{,}00\\ \mathrm{g}.á
\text{massa de água em B}\approx 8{,}3267\times 18{,}015\\ \mathrm{g}\approx 150{,}00\\ \mathrm{g}.á
(Valores arredondados coerentes com os dados iniciais de três algarismos significativos.)

Passo 5

Calcular quantidades finais de sacarose (são as mesmas dadas, pois sacarose não troca entre bécheres) e fração molar comum.
  • Sacarose em A: \,s_A=0{,}0100\\ \mathrm{mol} (permanece).
  • Sacarose em B: \,s_B=0{,}0300\\ \mathrm{mol} (permanece).
  • A fração molar da água comum nas duas soluções (verificação):
x_1=\frac{w_A}{w_A+s_A}=\frac{2{,}7756}{2{,}7756+0{,}0100}\approx 0{,}99641.
  • Para informação prática, massa de sacarose (massa molar \approx 342{,}30\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}):
\text{massa sacarose em A}=0{,}0100\times 342{,}30\\ \mathrm{g}\approx 3{,}423\\ \mathrm{g},
\text{massa sacarose em B}=0{,}0300\times 342{,}30\\ \mathrm{g}\approx 10{,}269\\ \mathrm{g}.
  • Portanto, em equilíbrio houve transferência de aproximadamente \,50{,}0\\ \mathrm{g}\, de água de A para B, até que as frações molares da água fossem iguais.

Passo 6

Interpretação final curta e encorajadora: a água se distribuiu de modo que as frações molares da água em A e B ficaram iguais; por causa das proporções de sacarose ( 0{,}01 e 0{,}03 mol), a água ficou na razão 1:3 entre A e B, resultando em cerca de \,50{,}0\\ \mathrm{g}\, de água em A e \,150{,}0\\ \mathrm{g}\, em B. Isso é exatamente o que esperávamos da condição de equilíbrio químico para solvente em soluções ideais. Força aí — já era a parte difícil!

Resposta

Bécher A: sacarose =0{,}0100\\ \mathrm{mol}; água =2{,}7756\\ \mathrm{mol} \approx 50{,}00\\ \mathrm{g}.
Bécher B: sacarose =0{,}0300\\ \mathrm{mol}; água =8{,}3267\\ \mathrm{mol} \approx 150{,}00\\ \mathrm{g}.

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