12.66
O bécher A contém
de sacarose dissolvido em 100 g de água. O bécher B contém
de sacarose em 100 g de água. Dê o conteúdo de cada bécher em equilíbrio se cada um dos bécheres tem volume de
e os dois estão em um recipiente selado termicamente condutor.
O bécher A contém
Passo 1
O enunciado pede que se determine o conteúdo de cada bécher em equilíbrio. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Bécher A contém
de sacarose dissolvidos em de água. - Bécher B contém
de sacarose em de água. - Cada bécher tem volume
. - Os dois bécheres estão num recipiente selado e termicamente condutor (podem trocar vapor de água entre si; a temperatura é a mesma).
O que se deve fornecer: a composição de cada bécher em equilíbrio (quantidade de água e de sacarose em cada um, em unidades práticas).
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicadinho, passo a passo).
- Em soluções ideais de um soluto não-volatile (açúcar aqui), o equilíbrio entre duas soluções à mesma temperatura e que possam trocar solvente por vapor ocorre quando a potencial químico do solvente é igual nas duas soluções. Para soluções ideais isso se traduz na igualdade das frações molares do solvente em cada solução.
- A fórmula para o potencial químico do solvente em solução ideal é
onde:
-
é o potencial químico do solvente na solução, -
é o potencial químico do solvente puro (constante à temperatura dada), -
é a constante dos gases, -
é a temperatura (mesma para ambos os bécheres), -
é a fração molar do solvente (água). - Se
é igual nos dois bécheres, então e, portanto,
- Em palavras simples: na validade da aproximação de solução ideal e com sacarose não volátil, a água se distribui entre A e B até que a fração molar da água seja a mesma em ambos. Isso é o que vamos usar para achar a quantidade final de água em cada bécher.
Passo 3
Expressar fração molar da água em cada bécher e escrever a condição de equilíbrio.
- Denotemos:
-
(mols de sacarose no bécher A), -
(mols de sacarose no bécher B), -
= moles de água no bécher A no equilíbrio (incógnita), -
= moles de água no bécher B no equilíbrio.
-
- A fração molar da água no bécher A é
- A fração molar da água no bécher B é
- A condição de equilíbrio é
- Além disso a água é conservada: se a massa total de água é
(em mols),
- Vamos usar essas duas equações para resolver
e . Fazer a álgebra:
Multiplicando em cruz:
Expandindo e cancelando o termo comum
dos dois lados obtemos
Rearranjando:
Logo a solução simples e elegante é
E, por conservação,
Comentário intuitivo: a água total se divide entre os bécheres na razão das quantidades de soluto — a fração de água que vai para A é igual à fração dos mols de sacarose que estão em A.
Passo 4
Calcular numericamente os moles de água total
e então
.
- Primeiro, converter
de água para mols usando a massa molar da água :
- Assim a água total é
- Usando a fórmula encontrada,
- Converter para massa de água (gramas) multiplicando por
:
(Valores arredondados coerentes com os dados iniciais de três algarismos significativos.)
Passo 5
Calcular quantidades finais de sacarose (são as mesmas dadas, pois sacarose não troca entre bécheres) e fração molar comum.
- Sacarose em A:
(permanece). - Sacarose em B:
(permanece). - A fração molar da água comum nas duas soluções (verificação):
- Para informação prática, massa de sacarose (massa molar
):
- Portanto, em equilíbrio houve transferência de aproximadamente
de água de A para B, até que as frações molares da água fossem iguais.
Passo 6
Interpretação final curta e encorajadora: a água se distribuiu de modo que as frações molares da água em A e B ficaram iguais; por causa das proporções de sacarose (
e
mol), a água ficou na razão
entre A e B, resultando em cerca de
de água em A e
em B. Isso é exatamente o que esperávamos da condição de equilíbrio químico para solvente em soluções ideais. Força aí — já era a parte difícil!
Resposta
Bécher A: sacarose
; água
.
Bécher B: sacarose ; água
.
Bécher B: sacarose