12.52
Para o antraceno \left(\mathrm{C}_{14} \mathrm{H}_{10}\right), o \Delta_{160} H=162 \mathrm{~J} / \mathrm{g} e o ponto de fusão é 216^{\circ} \mathrm{C}. Estime a solubilidade do antraceno em benzeno a 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a solubilidade do antraceno \left(\mathrm{C}_{14}\mathrm{H}_{10}\right) em benzeno a 60^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • \Delta_{160}H = 162\\ \mathrm{J/g} (entropia de fusão dada por grama; vamos interpretar isto como o calor de fusão específico na faixa relevante).
  • Ponto de fusão do antraceno: 216^\circ\mathrm{C}.
O que queremos calcular: a solubilidade a 60^\circ\mathrm{C}. Vou estimar primeiro a fração molar do soluto dissolvido ( x_{\text{antraceno}}) usando a aproximação de van’t Hoff para a dissolução de um sólido puro, e depois converter para gramas de antraceno por 100\\ \mathrm{g} de benzeno (forma prática de apresentar solubilidade).

Passo 2

Apresentando a teoria que vamos usar (aula rápida e direta):
  • Para um sólido puro que se dissolve num solvente ideal, a variação da solubilidade com a temperatura pode ser estimada pela relação de van’t Hoff (baseada na integração aproximada da condição de equilíbrio sólido–líquido assumindo \Delta H_{\text{fus}} constante):
\ln x_2 = -\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_m}\right),
onde:
  • x_2 é a fração molar do soluto (antraceno) na solução saturada,
  • \Delta H_{\text{fus}} é o calor molar de fusão do soluto (J·mol^{-1}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura de interesse em kelvin,
  • T_m é a temperatura de fusão em kelvin.
Explicando em palavras: essa fórmula diz que quanto maior for \Delta H_{\text{fus}} e maior for a diferença entre 1/T e 1/T_m, menor será a fração molar do sólido dissolvido. A fórmula é derivada assumindo que o sólido puro tem atividade igual a 1 e que as propriedades do líquido são ideais.

Passo 3

Primeiro converto \Delta_{160}H (dado por grama) para calor molar de fusão \Delta H_{\text{fus}} (J·mol^{-1}). Para isso preciso da massa molar do antraceno:
  • Massa molar do antraceno \mathrm{C}_{14}\mathrm{H}_{10}:
M = 14\cdot 12{,}01 + 10\cdot 1{,}008 = 168{,}14 + 10{,}08 = 178{,}22\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Agora multiplico o calor específico por grama pelo massa molar:
\Delta H_{\text{fus}} = 162\\ \mathrm{J\cdot g^{-1}}\times 178{,}22\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Faço a conta (passo a passo):
\Delta H_{\text{fus}} = 162\times 178{,}22 = 28\,873{,} \text{(aprox.)}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Vou manter \Delta H_{\text{fus}} \approx 2,8873\times 10^{4}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Converto as temperaturas para kelvin:
T = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K},
T_m = 216^\circ\mathrm{C} = 216 + 273{,}15 = 489{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculo o fator \left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_m}\right):
\frac{1}{T} = \frac{1}{333{,}15} \approx 0{,}0029996\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_m} = \frac{1}{489{,}15} \approx 0{,}0020447\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T}-\frac{1}{T_m} \approx 0{,}0029996 - 0{,}0020447 = 0{,}0009549\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Aplico a fórmula de van’t Hoff:
\ln x_2 = -\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_m}\right).
Substituindo números (mostrando cada termo):
\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{R} \approx \frac{28\,873\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}}{8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}} \approx 3\,474{,}0,
\ln x_2 \approx -3\,474{,}0\times 0{,}0009549 \approx -3{,}32.
Agora exponencio para obter x_2:
x_2 = e^{-3{,}32} \approx 0{,}0363.
Interpretação: a fração molar do antraceno na solução saturada a 60^\circ\mathrm{C} é aproximadamente x_2\approx 0{,}036 (cerca de 3{,}6\% em fração molar).

Passo 7

Converter fração molar em gramas de antraceno por 100\\ \mathrm{g} de benzeno (forma prática de solubilidade):
  • Massa molar do benzeno \mathrm{C}_6\mathrm{H}_6: M_{\text{benzeno}} \approx 78{,}11\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Se eu tenho 100\\ \mathrm{g} de benzeno, número de mols de benzeno:
n_1 = \frac{100}{78{,}11} \approx 1{,}2807\\ \mathrm{mol}.
  • A relação entre fração molar x_2 e números de mols é
x_2 = \frac{n_2}{n_1+n_2}\quad\Rightarrow\quad \frac{n_2}{n_1} = \frac{x_2}{1-x_2}.
Calculo:
\frac{x_2}{1-x_2} = \frac{0{,}0363}{1-0{,}0363} = \frac{0{,}0363}{0{,}9637} \approx 0{,}0377.
Logo
n_2 = n_1\times 0{,}0377 \approx 1{,}2807\times 0{,}0377 \approx 0{,}0483\\ \mathrm{mol}.
Massa de antraceno dissolvida:
m_2 = n_2 \times M_{\text{antraceno}} \approx 0{,}0483\times 178{,}22 \approx 8{,}60\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: o resultado indica que a solubilidade estimada é cerca de 8{,}6\\ \mathrm{g} de antraceno por 100\\ \mathrm{g} de benzeno a 60^\circ\mathrm{C}, o que corresponde a uma fração molar x_2\approx 0{,}036. A aproximação pressupõe solução ideal e \Delta H_{\text{fus}} constante com a temperatura.

Resposta

x_{\text{antraceno}}\approx 0{,}036 (fração molar)
\displaystyle \text{Solubilidade}\approx 8{,}6\\ \text{g de antraceno por }100\\ \text{g de benzeno a }60^\circ\mathrm{C}

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