Classificar as equaçōes a seguir como homogênea ou exata e em seguida determinar a solução de cada uma delas.
(y-x^2) d x+(x-y^2) d y=0

Passo 1

Dada a equação diferencial
(y - x^2),dx + (x - y^2),dy = 0,
temos M(x,y)=y - x^2 e N(x,y)=x - y^2. Vamos classificar se ela é exata ou homogênea checando se
partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial psi(x,y) tal que partial psi/partial x = M, integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral (y - x^2),dx = xy - x^33 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo partial psi/partial y = N, obtemos
partial psipartial y = x + h'(y) = x - y^2 Longrightarrow h'(y) = -y^2
Integrando em y:
h(y) = -y^33

Passo 5

Substituindo h(y) em psi, ficamos com
psi(x,y) = xy - x^33 - y^33
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
psi(x,y) = C,
ou seja
xy - x^33 - y^33 = C

Resposta

A equação é exata e sua solução geral implícita é
xy - x^33 - y^33 = C

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