12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
Passo 1
Temos a densidade de carga
Queremos os momentos de multipolo até a ordem 2:
— MonopoloQ=integral rho(r'),d^3r' .
— Dipolop=integral r',rho(r'),d^3r' .
— QuadrupoloQij=integrall(3x'i x'j - r'^2,de<aijr),rho(r'),d^3r' .
— Monopolo
— Dipolo
— Quadrupolo
Passo 2
Cálculo do momento de monopolo
Mas
integral0^2picosvarphi,dvarphi=0 . Logo
Passo 3
Cálculo do momento de dipolo
Cada componente
Cada componente
envolve um fator angular
integralcosvarphi ou
integralsinvarphi , que também se anula em
[0,2pi] . Portanto
Passo 4
Cálculo do momento de quadrupolo
Paraineq j vale
Para
e para
i=j subtrai-se
integral r'^2rho,d^3r' , mas verá que todos os termos diagonais serão nulos pelos mesmos argumentos angulares.
— Radialmente
— Radialmente
— O único componente não nulo é
Calcula-se
integral0^2picos^2varphi,dvarphi=pi e
integral0^pisin^2theta,sin2theta,costheta,dtheta=815 .
Logo
Logo
e
Qzx=Qxz . Todos os outros
Qij são zero.
Resposta
Os únicos componentes não nulos do tensor de quadrupolo são
demais
Qij=0 .