12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
rho(r^prime)=crhoo sin 2 theta cos varphi, se 0 <= r<R 0, se r >= R

Passo 1

Temos a densidade de carga
rho(r') = rho0,sin2theta,cosvarphi, & 0<= r'<R, 0, & r'>= R
Queremos os momentos de multipolo até a ordem 2:
— Monopolo Q=integral rho(r'),d^3r'.
— Dipolo p=integral r',rho(r'),d^3r'.
— Quadrupolo Qij=integrall(3x'i x'j - r'^2,de<aijr),rho(r'),d^3r'.

Passo 2

Cálculo do momento de monopolo
Q = integral0^Rr'^2,dr'integral0^pisintheta,dthetaintegral0^2pirho0,sin2theta,cosvarphi,dvarphi
Mas integral0^2picosvarphi,dvarphi=0. Logo
Q = 0

Passo 3

Cálculo do momento de dipolo
Cada componente
pi=integral r'i,rho(r'),d^3r'
envolve um fator angular integralcosvarphi ou integralsinvarphi, que também se anula em [0,2pi]. Portanto
p = 0

Passo 4

Cálculo do momento de quadrupolo
Para ineq j vale
Qij = 3integral x'i x'j,rho(r'),d^3r',
e para i=j subtrai-se integral r'^2rho,d^3r', mas verá que todos os termos diagonais serão nulos pelos mesmos argumentos angulares.
— Radialmente
integral0^Rr'^4,dr' = R^55
— O único componente não nulo é
Qxz=3,rho0,R^55 integral0^pisintheta,sin2theta,sinthetacostheta,dtheta integral0^2picos^2varphi,dvarphi
Calcula-se
integral0^2picos^2varphi,dvarphi=pi e
integral0^pisin^2theta,sin2theta,costheta,dtheta=815.
Logo
Qxz =3,rho0,R^55times8pi15 =8pi25,rho0,R^5,
e Qzx=Qxz. Todos os outros Qij são zero.

Resposta

Q = 0
p = 0
Os únicos componentes não nulos do tensor de quadrupolo são
Qxz = Qzx = 8pi25,rho0,R^5,
demais Qij=0.

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