12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
rho(r^prime)=crhoo r^prime 2 cos theta, se 0 <= r<R 0, se r >= R

Passo 1

O enunciado dá a densidade
rho( r')=rho0,r'^2costheta,&0<= r'<R,0,&r'>= R,
e pede o momento de monopolo Q, o dipolo p e o quadrupolo Qij. Vamos usar as definições em coordenadas esféricas (r',theta,phi):
Q=integral rho,d^3r, p=integral r',rho,d^3r, Qij=integrall(3xixj-r'^2de<aijr),rho,d^3r

Passo 2

Para o monopolo:
Q=integral0^R!integral0^pi!integral0^2pi rho0,r'^2costheta;r'^2sintheta,dphi,dtheta,dr' =rho0integral0^Rr'^4dr'integral0^pisinthetacostheta,dthetaintegral0^2pidphi
Como
integral0^pisinthetacostheta,dtheta =ltfrac12sin^2thetar|0^pi=0,
segue que Q=0.

Passo 3

Para o dipolo, por simetria só pz é não nulo:
pz =integralrho,z,d^3r =rho0integral0^Rr'^5dr'integral0^pisinthetacos^2theta,dthetaintegral0^2pidphi
Aqui
integral0^pisinthetacos^2theta,dtheta =tfrac23, integral0^2pidphi=2pi, integral0^Rr'^5dr'=tfracR^66,
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pz =rho0,R^66,4pi3 =2pi9,rho0R^6
Portanto
p=(0,0,tfrac2pi9rho0R^6).

Passo 4

Cada componente do quadrupolo
Qij =integrall(3xixj-r'^2de<aijr),rho,d^3r
envolve integrais angulares com potências ímpares de costheta, que se anulam. Logo
Qij=0para todos i,j

Resposta

Monopolo: Q=0
Dipolo: p=l(0,0,tfrac2pi9rho0R^6r)
Quadrupolo: Qij=0 para todos os i,j

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