12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
Passo 1
O enunciado dá a densidade
e pede o momento de monopolo
, o dipolo
e o quadrupolo
. Vamos usar as definições em coordenadas esféricas
:
Passo 2
Para o monopolo:
Como
segue que
Q=0 .
Passo 3
Para o dipolo, por simetria só
pz é não nulo:
Aqui
logo
Portanto
p=(0,0,tfrac2pi9rho0R^6) .
Passo 4
Cada componente do quadrupolo
envolve integrais angulares com potências ímpares de
costheta , que se anulam. Logo
Resposta
Monopolo:
Q=0
Dipolo: p=l(0,0,tfrac2pi9rho0R^6r)
Quadrupolo:Qij=0 para todos os
i,j
Dipolo:
Quadrupolo: