11-Considere um sistema de duas cargas puntiformes de valor q situadas nos pontos ( 0,0, a ) e (0,0,-a). Obtenha os momentos de monopolo (q00=q), dipolos (p) e quadrupolos (over<=ftrightarrowQ) para esta distribuição de carga.

Passo 1

O enunciado descreve duas cargas puntuais de mesma intensidade q localizadas em (0,0,a) e em (0,0,-a).
Conteúdo: momentos multipolares (monopolo, dipolo e quadrupolo) de uma distribuição discreta de cargas.
O que vamos precisar:
  • Para o monopolo, somar todas as cargas.
  • Para o dipolo, usar p=sumi qi, ri.
  • Para o quadrupolo, usar
Qij ;=;sumi qil(3,xi!xj-ri^2,de<aijr)

Passo 2

Monopolo elétrico é simplesmente a carga total
Qrm total=sumi qi = q+q = 2q
Se adotarmos a notação q00=Qrm total, então
q00=2q

Passo 3

Dipolo elétrico é
p=sumi qi, ri = q,(0,0,a)+q,(0,0,-a) =(0,0,0)

Passo 4

Quadrupolo elétrico em componente cartesiana: para cada carga em ri=(xi,yi,zi)
Qij^(i)=qil(3,xixj-ri^2de<aijr), ri^2=xi^2+yi^2+zi^2
Aqui, para (0,0,pm a) temos ri^2=a^2 e todos os produtos mistos x,z, x,y, y,z são nulos, de modo que cada carga contribui com
Qxx^(i)=q,(0- a^2)=-q,a^2, Qyy^(i)=-q,a^2, Qzz^(i)=q,(3a^2-a^2)=2q,a^2,
e Qij^(i)=0 para ineq j.

Passo 5

Somando as duas cargas obtemos os componentes totais
Qxx=-2q,a^2, Qyy=-2q,a^2, Qzz=4q,a^2,
com Qxy=Qxz=Qyz=0. Note que a traça Qxx+Qyy+Qzz=0, conforme esperado para o quadrupolo traceless.

Resposta

Monopolo:
q00 = 2q
Dipolo:
p = (0,0,0)
Quadrupolo (matriz em base x,y,z):
over<=ftrightarrowQ = -2q,a^2 & 0 & 0 0 & -2q,a^2 & 0 0 & 0 & 4q,a^2

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