12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
rho(r^prime)=rhoo e^-2 r / R

Passo 1

O enunciado pede os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para a densidade de carga \r
O conteúdo aqui é a teoria de expansão multipolar:
– O momento de monopolo é a carga total .
– O momento de dipolo é o vetor
.
– O tensor de quadrupolo (traçável) é
.
Vamos usar coordenadas esféricas e simetria esférica.

Passo 2

Calcular o momento de monopolo (carga total)
Q=integral rho(r'),d^3r' =4pi rho0integral0^inftyr^2e^-2r/R,dr
Usando a integral padrão
integral0^inftyr^2 e^-ar,dr=2/a^3 com a=2/R, obtemos
integral0^inftyr^2e^-2r/R,dr =2(2/R)^3 =2R^38 =R^34
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Q=4pi rho0;R^34 =pi,rho0,R^3

Passo 3

Calcular o momento de dipolo
p =integral r',rho(r'),d^3r'
Como rho(r') é função apenas de r, a distribuição é esfericamente simétrica e não há direção privilegiada. Por simetria
p=0

Passo 4

Calcular o tensor de quadrupolo
Qij =integrall(3x'i x'j - r'^2de<aijr)rho(r'),d^3r'
Em distribuição esférica vale
integral x'i x'j,rho(r'),d^3r' =de<aij3integral r'^2,rho(r'),d^3r',
então
Qij =3de<aij3I - de<aijI =0,
onde
I=integral r'^2rho(r'),d^3r' é finito mas cancela no traço.

Resposta

Monopolo:
Q=pi,rho0,R^3
Dipolo:
p=0
Quadrupolo:
Qij=0(para todo i,j)

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