12-Calcule os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de cargas:
Passo 1
O enunciado pede os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo para a densidade de carga \r
O conteúdo aqui é a teoria de expansão multipolar:
– O momento de monopolo é a carga total .
– O momento de dipolo é o vetor
.
– O tensor de quadrupolo (traçável) é
.
Vamos usar coordenadas esféricas e simetria esférica.
– O momento de monopolo é a carga total
– O momento de dipolo é o vetor
– O tensor de quadrupolo (traçável) é
Vamos usar coordenadas esféricas e simetria esférica.
Passo 2
Calcular o momento de monopolo (carga total)
Usando a integral padrão
com
, obtemos
Logo
Passo 3
Calcular o momento de dipolo
Como
é função apenas de
, a distribuição é esfericamente simétrica e não há direção privilegiada. Por simetria
Passo 4
Calcular o tensor de quadrupolo
Em distribuição esférica vale
então
onde
é finito mas cancela no traço.
Resposta
Monopolo:
Dipolo:
Quadrupolo: