1.12.1 Dado um vetor
, mostre, com a ajuda do teorema de Stokes, que a integral ao redor de uma curva fechada contínua no plano
,
é a área limitada pela curva.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial no plano
e pede para mostrar, usando o teorema de Stokes (forma planar, ou seja, o teorema de Green), que
onde
é a área do domínio fechado por
. Para isso, precisamos reescrever a integral de linha como
e aplicar Green.
Passo 2
Escrevemos
logo identificamos
Passo 3
O teorema de Green (caso planar de Stokes) diz que, para uma curva fechada
orientada positivamente que limita a região
,
Passo 4
Calculemos o integrando:
portanto
Assim
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos
que é justamente a área limitada por
.