12 Um cilindro de latão e um cilindro de madeira têm o mesmo raio e a mesma massa (o que significa que o cilindro de madeira é mais comprido). Os dois cilindros rolam suavemente para baixo em uma
rampa, a partir do repouso. (a) Qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa? (b) Se o cilindro de madeira é cortado para ficar com o mesmo comprimento do cilindro de latão, e uma cavidade é aberta ao longo do eixo central do cilindro de latão para que fique com a mesma massa que o cilindro de madeira, qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa?
rampa, a partir do repouso. (a) Qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa? (b) Se o cilindro de madeira é cortado para ficar com o mesmo comprimento do cilindro de latão, e uma cavidade é aberta ao longo do eixo central do cilindro de latão para que fique com a mesma massa que o cilindro de madeira, qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede.
- Dois cilindros têm o mesmo raio
e a mesma massa (isto é, inicialmente ). - O cilindro de madeira é mais comprido (mesmo
, mas comprimento maior). - Ambos rolam sem deslizar a partir do repouso por uma mesma rampa (mesma inclinação e mesma posição inicial na rampa).
- Pergunta (a): Qual dos dois chega primeiro à base da rampa?
- Em (b) a situação muda: o cilindro de madeira é cortado para ficar com o mesmo comprimento do cilindro de latão (logo a sua massa diminui) e, ao cilindro de latão, é aberto um furo cilíndrico ao longo do eixo central de modo que o cilindro de latão passe a ter a mesma massa do cilindro de madeira recém-cortado. Ou seja, depois das modificações ambos têm o mesmo raio
, mesmo comprimento e mesma massa (mas distribuições de massa diferentes). Pergunta (b): qual chega primeiro agora?
Observações que vamos usar (não resolvo ainda): ambos rolam sem deslizar (vinculação
), começam do repouso, e a resposta deve depender de como a massa está distribuída (momento de inércia).
Passo 2
Derivar a fórmula da aceleração de um corpo que rola sem deslizar por um plano inclinado — passo a passo e com explicação didática.
Explicação física curta: quando um cilindro rola sem deslizar, parte da energia ou do efeito da força peso vai para traduzir o centro de massa (energia translação / aceleração linear) e parte vai para rotação em torno do eixo (energia rotacional / momento de inércia). A resistência ao giro (momento de inércia grande) reduz a aceleração de translação.
Equações de movimento (usamos forças e torque; cada símbolo explicado):
-
é a massa do cilindro (valor genérico), -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo de inclinação da rampa, -
é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa, -
é a força de atrito estático que atua na base do cilindro (não faz trabalho dissipável quando não há deslizamento, mas produz torque), -
é o momento de inércia do cilindro em torno do eixo central, -
é o raio do cilindro, -
é a aceleração angular, relacionada por (condição de não deslizamento).
Aplicando a segunda lei para a translação ao longo da rampa:
Torque em torno do eixo causado pelo atrito (o sinal é tal que o atrito fornece o torque que faz girar):
Isolando
da segunda equação:
Substituindo em
:
Agrupando termos em
:
Portanto a aceleração linear do cilindro é
Comentário didático: essa fórmula mostra claramente que quanto maior for
(isto é, quanto mais a massa estiver afastada do eixo), menor será a aceleração
. Para um dado
e
, cilindros com maior momento de inércia giram “com mais dificuldade” e portanto aceleram menos na rampa.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso de um cilindro sólido uniforme (fórmula do momento de inércia e interpretação).
Fórmula conhecida (e aqui explico de onde vem em palavras simples): o momento de inércia de um cilindro sólido e maciço, de massa
e raio
, girando em torno de seu eixo central é
Racionalização simples: o fator
aparece porque a massa está distribuída por todo o raio; não está concentrada na borda. Não é preciso conhecer a derivação integral para usar a fórmula na prova, mas basta lembrar que é padrão e que não depende do comprimento axial do cilindro (porque esse comprimento só multiplica massa linear; ao expressar em função de
e
a dependência do comprimento desaparece).
Substituindo em
:
Logo a aceleração de um cilindro sólido é
Passo 4
Resposta da parte (a) usando o resultado do passo anterior e explicação clara.
No enunciado inicial ambos os cilindros (latão e madeira) têm o mesmo raio
e a mesma massa, e ambos são cilindros maciços (o texto indica um cilindro de madeira e um de latão sem cavidade). O momento de inércia de cada um é portanto
(exatamente o mesmo para os dois, porque o momento de inércia de um cilindro maciço não depende do comprimento axial quando se expressa em termos de
e
). Como a fórmula da aceleração depende apenas de
e esse quociente é igual para ambos, ambos têm a mesma aceleração
e, partindo do mesmo ponto, chegam à base ao mesmo tempo.
Intuição física amigável: embora o cilindro de madeira seja mais comprido, isso só significa que sua massa está distribuída numa barra axial mais longa, mas essa variação axial não altera o momento de inércia em torno do eixo central quando comparados em massa total e raio iguais. Portanto ambos “giraram” da mesma maneira e percorrem a rampa com a mesma aceleração.
Passo 5
Preparação e estratégia para a parte (b). O que muda e como vamos analisar.
- Depois das modificações: o cilindro de madeira foi encurtado para ter o mesmo comprimento do cilindro de latão; portanto sua massa diminuiu — chamemos essa nova massa de
. Em seguida o cilindro de latão foi furado ao longo do eixo até que sua massa também passe a ser . Agora os dois têm o mesmo raio , o mesmo comprimento e a mesma massa . A diferença: o cilindro de madeira é uma peça sólida maciça; o cilindro de latão agora é um cilindro com cavidade axial (um cilindro “anular” ou de parede espessa). - Para comparar quem chegará primeiro, usamos novamente a fórmula
ou seja, basta comparar os quocientes
dos dois corpos: o menor quociente indica maior aceleração e chegada antes.
Passo 6
Calcular o momento de inércia do cilindro de madeira (sólido, massa
) e do cilindro de latão perfurado (cilindro de parede espessa de massa
).
- Madeira (sólido, massa
):
- Latão perfurado: modelar como um cilindro “externo” de raio
menos um cilindro interno (o furo) de raio (onde ). O momento de inércia de um cilindro homogêneo maciço é massa vezes raio ao quadrado, então o momento do anel (casca espessa) é a diferença entre o momento do cilindro externo e o do cilindro removido. Se a massa total após furar é , o momento de inércia resultante tem a forma padrão (para um casquinha com massas proporcionais às áreas) que pode ser escrito como
(Explicação curta: este resultado vem de que o momento da porção removida é
e o momento do todo era
; ao ajustar massas para que a massa final seja
obtém-se a forma
. Não é necessário achar
numericamente para responder a pergunta qualitativa.)
Dividindo por
:
Como
(furo não nulo), temos
Passo 7
Conclusão da parte (b) com interpretação física e resultado final.
- Para a madeira cortada (sólida)
. - Para o latão perfurado
.
Pela fórmula da aceleração, o corpo com menor terá maior aceleração. Portanto, após as modificações, o cilindro de madeira (sólido) tem maior aceleração e chega primeiro à base da rampa.
Intuição amigável: perfurar o latão desloca relativamente mais massa para longe do centro (a massa restante fica mais concentrada perto da borda em comparação com um sólido de mesma massa), aumentando a inércia rotacional por unidade de massa e reduzindo a parte da força peso que pode acelerar a translação — assim o cilindro perfurado é mais “preguiçoso” para girar e perde a corrida.
Resposta
(a) Os dois chegam ao mesmo tempo.
(b) O cilindro de madeira (sólido) chega primeiro.
(b) O cilindro de madeira (sólido) chega primeiro.