12 Um cilindro de latão e um cilindro de madeira têm o mesmo raio e a mesma massa (o que significa que o cilindro de madeira é mais comprido). Os dois cilindros rolam suavemente para baixo em uma
rampa, a partir do repouso. (a) Qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa? (b) Se o cilindro de madeira é cortado para ficar com o mesmo comprimento do cilindro de latão, e uma cavidade é aberta ao longo do eixo central do cilindro de latão para que fique com a mesma massa que o cilindro de madeira, qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Dois cilindros têm o mesmo raio R e a mesma massa (isto é, inicialmente m_{\rm latão}=m_{\rm madeira}ã).
  • O cilindro de madeira é mais comprido (mesmo R, mas comprimento maior).
  • Ambos rolam sem deslizar a partir do repouso por uma mesma rampa (mesma inclinação e mesma posição inicial na rampa).
  • Pergunta (a): Qual dos dois chega primeiro à base da rampa?
  • Em (b) a situação muda: o cilindro de madeira é cortado para ficar com o mesmo comprimento do cilindro de latão (logo a sua massa diminui) e, ao cilindro de latão, é aberto um furo cilíndrico ao longo do eixo central de modo que o cilindro de latão passe a ter a mesma massa do cilindro de madeira recém-cortado. Ou seja, depois das modificações ambos têm o mesmo raio R, mesmo comprimento e mesma massa (mas distribuições de massa diferentes). Pergunta (b): qual chega primeiro agora?
Observações que vamos usar (não resolvo ainda): ambos rolam sem deslizar (vinculação a=\alpha R), começam do repouso, e a resposta deve depender de como a massa está distribuída (momento de inércia).

Passo 2

Derivar a fórmula da aceleração de um corpo que rola sem deslizar por um plano inclinado — passo a passo e com explicação didática.
Explicação física curta: quando um cilindro rola sem deslizar, parte da energia ou do efeito da força peso vai para traduzir o centro de massa (energia translação / aceleração linear) e parte vai para rotação em torno do eixo (energia rotacional / momento de inércia). A resistência ao giro (momento de inércia grande) reduz a aceleração de translação.
Equações de movimento (usamos forças e torque; cada símbolo explicado):
  • m é a massa do cilindro (valor genérico),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • \theta é o ângulo de inclinação da rampa,
  • a é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa,
  • f é a força de atrito estático que atua na base do cilindro (não faz trabalho dissipável quando não há deslizamento, mas produz torque),
  • I é o momento de inércia do cilindro em torno do eixo central,
  • R é o raio do cilindro,
  • \alpha é a aceleração angular, relacionada por \alpha = a/R (condição de não deslizamento).
Aplicando a segunda lei para a translação ao longo da rampa:
m g \sin\theta - f = m a.
Torque em torno do eixo causado pelo atrito (o sinal é tal que o atrito fornece o torque que faz girar):
f R = I \alpha = I \frac{a}{R}.
Isolando f da segunda equação:
f = \frac{I}{R^2}\,a.
Substituindo em m g \sin\theta - f = m a:
m g \sin\theta - \frac{I}{R^2}\,a = m a.
Agrupando termos em a:
m g \sin\theta = a\left(m + \frac{I}{R^2}\right).
Portanto a aceleração linear do cilindro é
a = \frac{g \sin\theta}{1 + \dfrac{I}{mR^2}}.
Comentário didático: essa fórmula mostra claramente que quanto maior for \dfrac{I}{mR^2} (isto é, quanto mais a massa estiver afastada do eixo), menor será a aceleração a. Para um dado m e R, cilindros com maior momento de inércia giram “com mais dificuldade” e portanto aceleram menos na rampa.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso de um cilindro sólido uniforme (fórmula do momento de inércia e interpretação).
Fórmula conhecida (e aqui explico de onde vem em palavras simples): o momento de inércia de um cilindro sólido e maciço, de massa m e raio R, girando em torno de seu eixo central é
I_{\rm sólido} = \tfrac{1}{2}\,mR^2.ó
Racionalização simples: o fator 1/2 aparece porque a massa está distribuída por todo o raio; não está concentrada na borda. Não é preciso conhecer a derivação integral para usar a fórmula na prova, mas basta lembrar que é padrão e que não depende do comprimento axial do cilindro (porque esse comprimento só multiplica massa linear; ao expressar em função de m e R a dependência do comprimento desaparece).
Substituindo em \dfrac{I}{mR^2}:
\frac{I_{\rm sólido}}{mR^2} = \frac{1}{2}.ó
Logo a aceleração de um cilindro sólido é
a = \frac{g \sin\theta}{1 + \tfrac{1}{2}} = \frac{g \sin\theta}{3/2} = \frac{2}{3}\,g\sin\theta.

Passo 4

Resposta da parte (a) usando o resultado do passo anterior e explicação clara.
No enunciado inicial ambos os cilindros (latão e madeira) têm o mesmo raio R e a mesma massa, e ambos são cilindros maciços (o texto indica um cilindro de madeira e um de latão sem cavidade). O momento de inércia de cada um é portanto
I = \tfrac{1}{2}\,mR^2
(exatamente o mesmo para os dois, porque o momento de inércia de um cilindro maciço não depende do comprimento axial quando se expressa em termos de m e R). Como a fórmula da aceleração depende apenas de I/(mR^2) e esse quociente é igual para ambos, ambos têm a mesma aceleração a=\tfrac{2}{3}g\sin\theta e, partindo do mesmo ponto, chegam à base ao mesmo tempo.
Intuição física amigável: embora o cilindro de madeira seja mais comprido, isso só significa que sua massa está distribuída numa barra axial mais longa, mas essa variação axial não altera o momento de inércia em torno do eixo central quando comparados em massa total e raio iguais. Portanto ambos “giraram” da mesma maneira e percorrem a rampa com a mesma aceleração.

Passo 5

Preparação e estratégia para a parte (b). O que muda e como vamos analisar.
  • Depois das modificações: o cilindro de madeira foi encurtado para ter o mesmo comprimento do cilindro de latão; portanto sua massa diminuiu — chamemos essa nova massa de m. Em seguida o cilindro de latão foi furado ao longo do eixo até que sua massa também passe a ser m. Agora os dois têm o mesmo raio R, o mesmo comprimento e a mesma massa m. A diferença: o cilindro de madeira é uma peça sólida maciça; o cilindro de latão agora é um cilindro com cavidade axial (um cilindro “anular” ou de parede espessa).
  • Para comparar quem chegará primeiro, usamos novamente a fórmula
a = \frac{g \sin\theta}{1 + \dfrac{I}{mR^2}},
ou seja, basta comparar os quocientes \dfrac{I}{mR^2} dos dois corpos: o menor quociente indica maior aceleração e chegada antes.

Passo 6

Calcular o momento de inércia do cilindro de madeira (sólido, massa m) e do cilindro de latão perfurado (cilindro de parede espessa de massa m).
  • Madeira (sólido, massa m):
I_{\rm madeira} = \tfrac{1}{2}\,mR^2, \qquad \frac{I_{\rm madeira}}{mR^2}=\tfrac{1}{2}.
  • Latão perfurado: modelar como um cilindro “externo” de raio R menos um cilindro interno (o furo) de raio r (onde 0<r<R). O momento de inércia de um cilindro homogêneo maciço é \tfrac{1}{2} massa vezes raio ao quadrado, então o momento do anel (casca espessa) é a diferença entre o momento do cilindro externo e o do cilindro removido. Se a massa total após furar é m, o momento de inércia resultante tem a forma padrão (para um casquinha com massas proporcionais às áreas) que pode ser escrito como
I_{\rm latão} = \tfrac{1}{2}\,m\,(R^2 + r^2).ã
(Explicação curta: este resultado vem de que o momento da porção removida é \tfrac{1}{2}m_{\rm removido}r^2 e o momento do todo era \tfrac{1}{2}m_{\rm original}R^2; ao ajustar massas para que a massa final seja m obtém-se a forma \tfrac{1}{2}m(R^2+r^2). Não é necessário achar r numericamente para responder a pergunta qualitativa.)
Dividindo por mR^2:
\frac{I_{\rm latão}}{mR^2} = \tfrac{1}{2}\left(1 + \frac{r^2}{R^2}\right).ã
Como r^2/R^2>0 (furo não nulo), temos
\frac{I_{\rm latão}}{mR^2} > \tfrac{1}{2}.ã

Passo 7

Conclusão da parte (b) com interpretação física e resultado final.
  • Para a madeira cortada (sólida) \dfrac{I}{mR^2}=\tfrac{1}{2}.
  • Para o latão perfurado \dfrac{I}{mR^2}=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\dfrac{r^2}{R^2}\bigr)>\tfrac{1}{2}.
    Pela fórmula da aceleração a=\dfrac{g\sin\theta}{1+I/(mR^2)}, o corpo com menor I/(mR^2) terá maior aceleração. Portanto, após as modificações, o cilindro de madeira (sólido) tem maior aceleração e chega primeiro à base da rampa.
Intuição amigável: perfurar o latão desloca relativamente mais massa para longe do centro (a massa restante fica mais concentrada perto da borda em comparação com um sólido de mesma massa), aumentando a inércia rotacional por unidade de massa e reduzindo a parte da força peso que pode acelerar a translação — assim o cilindro perfurado é mais “preguiçoso” para girar e perde a corrida.

Resposta

(a) Os dois chegam ao mesmo tempo.
(b) O cilindro de madeira (sólido) chega primeiro.

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