1 (Movimento em uma dimensão - 2,0 pontos) Um piloto de caça, praticando manobras para não ser detectado por radar, está voando manualmente na horizontal a
, a apenas 30 m acima do nivel do solo. De repente, o avião se depara com um terreno que tem uma inclinação suave para cima de
, um valor dificil de detectar visualmente. Quanto tempo o piloto tem para fazer uma correção para evitar que o avião se espatife no chão? Use
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados fornecidos):
- Velocidade do avião:
. - Altura do avião acima do nível do solo (no ponto onde começa a rampa):
. - O terreno começa a subir com inclinação de
. - Valor de
fornecido: (está no enunciado).
O que o problema pede: determinar quanto tempo o piloto tem para corrigir antes do avião colidir com o solo, assumindo que o avião continua voando horizontalmente sem alterar altura até o choque.
Passo 2
Vamos entender a geometria do problema e traduzir para uma equação simples.
- Seja
a distância horizontal a partir do ponto onde começa a inclinação até o ponto em que o terreno atinge a altura do avião (ou seja, onde ocorrerá a colisão). - A altura do terreno a uma distância horizontal
é dada pela definição de tangente numa rampa: a tangente do ângulo é a razão entre a “altura” (cateto oposto) e a “distância horizontal” (cateto adjacente). Portanto, a altura do terreno em é , onde é o ângulo da rampa. - A colisão ocorre quando a altura do terreno iguala a altura do avião
. Assim, a condição de colisão é
Passo 3
Isolando
na equação acima obtemos a distância horizontal até o choque:
Aqui:
-
é a altura do avião . -
é o ângulo da rampa .
Explicação didática rápida:mede quantos metros o terreno sobe por metro horizontal; como o avião está a metros, basta dividir por essa razão para saber quantos metros horizontais ele vai percorrer antes da altura do solo alcançar .
Passo 4
Precisamos de
. Vou calcular sem usar uma calculadora complexa, usando conversão para radianos e a aproximação em série (útil em provas sem calculadora porque
é pequeno):
- Converter graus para radianos:
Usando
,
- Para ângulos pequenos, a série de Taylor para
é . Mantendo até o termo cúbico (já muito preciso para ):
Então podemos usar
Observação: essa aproximação é muito boa aqui (erro desprezível para finalidade prática).
Passo 5
Calcular
usando
e o valor aproximado de
:
Interpretação: o avião percorrerá cerca de
horizontalmente desde o início da rampa até o ponto em que o solo alcança os
de altitude.
Passo 6
Agora convertemos a velocidade para unidades compatíveis e calculamos o tempo.
- Converter
para :
- O tempo até o choque é
. Substituindo:
Passo 7
Arredondando para duas casas decimais (suficiente para o contexto):
Comentário prático e motivador:
é menos de um segundo — um tempo curtíssimo. O valor de
dado no enunciado não foi necessário para este cálculo porque o avião mantém altitude constante (não estamos tratando de queda livre ou trajetória balística), apenas da geometria entre a linha do voo horizontal e a rampa do terreno.