1 (Movimento em uma dimensão - 2,0 pontos) Um piloto de caça, praticando manobras para não ser detectado por radar, está voando manualmente na horizontal a 1000 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, a apenas 30 m acima do nivel do solo. De repente, o avião se depara com um terreno que tem uma inclinação suave para cima de 7,0^{\circ}, um valor dificil de detectar visualmente. Quanto tempo o piloto tem para fazer uma correção para evitar que o avião se espatife no chão? Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados fornecidos):
  • Velocidade do avião: 1000\\ \mathrm{km/h}.
  • Altura do avião acima do nível do solo (no ponto onde começa a rampa): 30\\ \mathrm{m}.
  • O terreno começa a subir com inclinação de 7{,}0^\circ.
  • Valor de g fornecido: 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (está no enunciado).
    O que o problema pede: determinar quanto tempo o piloto tem para corrigir antes do avião colidir com o solo, assumindo que o avião continua voando horizontalmente sem alterar altura até o choque.

Passo 2

Vamos entender a geometria do problema e traduzir para uma equação simples.
  • Seja x a distância horizontal a partir do ponto onde começa a inclinação até o ponto em que o terreno atinge a altura do avião (ou seja, onde ocorrerá a colisão).
  • A altura do terreno a uma distância horizontal x é dada pela definição de tangente numa rampa: a tangente do ângulo é a razão entre a “altura” (cateto oposto) e a “distância horizontal” (cateto adjacente). Portanto, a altura do terreno em x é x\tan\theta, onde \theta é o ângulo da rampa.
  • A colisão ocorre quando a altura do terreno iguala a altura do avião h. Assim, a condição de colisão é
x\tan\theta = h.

Passo 3

Isolando x na equação acima obtemos a distância horizontal até o choque:
x=\frac{h}{\tan\theta}.
Aqui:
  • h é a altura do avião =\;30\\ \mathrm{m}.
  • \theta é o ângulo da rampa =\;7{,}0^\circ.
    Explicação didática rápida: \tan\theta mede quantos metros o terreno sobe por metro horizontal; como o avião está a h metros, basta dividir h por essa razão para saber quantos metros horizontais ele vai percorrer antes da altura do solo alcançar h.

Passo 4

Precisamos de \tan 7{,}0^\circ. Vou calcular sem usar uma calculadora complexa, usando conversão para radianos e a aproximação em série (útil em provas sem calculadora porque 7^\circ é pequeno):
  • Converter graus para radianos:
\theta_{\text{rad}} = 7{,}0^\circ \cdot \frac{\pi}{180}.
Usando \pi\approx 3{,}1416,
\theta_{\text{rad}} \approx 7{,}0 \cdot 0{,}0174533 \approx 0{,}122173.
  • Para ângulos pequenos, a série de Taylor para \tan\theta é \tan\theta \approx \theta + \dfrac{\theta^{3}}{3} + \cdots. Mantendo até o termo cúbico (já muito preciso para 7^\circ):
\theta^{3} \approx (0{,}122173)^{3} \approx 0{,}0018201,
\tan\theta \approx 0{,}122173 + \frac{0{,}0018201}{3} \approx 0{,}122173 + 0{,}0006067 \approx 0{,}1227797.
Então podemos usar
\tan 7{,}0^\circ \approx 0{,}12278.
Observação: essa aproximação é muito boa aqui (erro desprezível para finalidade prática).

Passo 5

Calcular x usando h=30\\ \mathrm{m} e o valor aproximado de \tan\theta:
x=\frac{30}{0{,}12278}\approx 244{,}3\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o avião percorrerá cerca de 244{,}3\\ \mathrm{m} horizontalmente desde o início da rampa até o ponto em que o solo alcança os 30\\ \mathrm{m} de altitude.

Passo 6

Agora convertemos a velocidade para unidades compatíveis e calculamos o tempo.
  • Converter 1000\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
1000\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000\cdot 10^{3}\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \frac{10^{6}}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 277{,}\overline{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • O tempo até o choque é t=\dfrac{x}{v}. Substituindo:
t=\frac{244{,}3}{277{,}78}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}879\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Arredondando para duas casas decimais (suficiente para o contexto):
t\approx 0{,}88\\ \mathrm{s}.
Comentário prático e motivador: 0{,}88\\ \mathrm{s} é menos de um segundo — um tempo curtíssimo. O valor de g dado no enunciado não foi necessário para este cálculo porque o avião mantém altitude constante (não estamos tratando de queda livre ou trajetória balística), apenas da geometria entre a linha do voo horizontal e a rampa do terreno.

Resposta

\,0{,}88\\ \mathrm{s}

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