16^{\circ} ) a) Prove que se a_{n} \neq 0 para todo n \in \mathbb{N} e \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|} \geq 1 para todo n>n_{0} então \sum a_{n} diverge.
b) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=a+b+a^{2}+b^{2}+a^{3}+b^{3}+a^{4}+b^{4}+\cdots definida como a_{2 n}=b^{n} e a_{2 n-1}=a^{n} onde 0<a<b<1 é convergente. Conclua que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste d’Alembert é inconclusivo.
Passo 1
O enunciado trata de séries numéricas e dos testes de convergência de Cauchy (raiz) e de d’Alembert (razão).
a) Pede para mostrar que, se a_n\neq0 para todo n e existe n_0 tal que
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\ge1\quad\forall n>n_0,
então \sum a_n diverge.
b) Considera a série cuja sequência de termos é
a_{2n-1}=a^n,\quad a_{2n}=b^n,
com 0<a<b<1, e quer que provemos sua convergência, mostrando que o teste de Cauchy (raiz) funciona mas o de d’Alembert (razão) não.
Passo 2
Para a) repara que, para todo n>n_0,
|a_{n+1}|\ge|a_n|.
Iterando a partir de n=n_0+1, segue-se
|a_n|\ge|a_{n_0+1}|\quad\forall n>n_0,
e como a_{n_0+1}\neq0 temos \lim_{n\to\infty}a_n\neq0. Mas uma série convergente exige a_n\to0. Logo \sum a_ndiverge.
Passo 3
Para b) escrevemos a soma em pares de dois termos:
já que b<1. Pelo teste de Cauchy, a série converge.
Passo 5
Agora o teste de d’Alembert (razão) exige o limite \lim|a_{n+1}/a_n|. Para n=2k-1 (de ímpar para par):
\bigl|\tfrac{a_{2k}}{a_{2k-1}}\bigr| =\frac{b^k}{a^k} =\bigl(\tfrac b a\bigr)^k \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;\infty,
e para n=2k (de par para ímpar):
\bigl|\tfrac{a_{2k+1}}{a_{2k}}\bigr| =\frac{a^{k+1}}{b^k} =a\;\bigl(\tfrac a b\bigr)^k \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;0.
Os dois limites são diferentes, logo \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|não existe e o teste de d’Alembert é inconclusivo.
Passo 6
Resumindo, em (b) a série converge e isso fica evidente pelo teste de Cauchy, mas o teste de d’Alembert falha por não apresentar limite único da razão dos termos.
Resposta
a) \sum a_n diverge.
b) \sum_{n=1}^\infty a_n converge; o teste de Cauchy (raiz) conclui a convergência, enquanto o teste de d’Alembert (razão) é inconclusivo.