4.12 Em uma classe, existem 5 alunos do
ano, 4 do
e 3 do
ano. Qual é a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do
ano, 3 do
e 2 do
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Informações fornecidas:
- Existem
alunos do ano. - Existem
alunos do ano. - Existem
alunos do ano. - Total de alunos na turma:
.
- Existem
-
O que o enunciado pede:
- Qual é a probabilidade de, ao sortear um grupo de alunos, saírem exatamente
alunos do ano, do ano e do ano?
- Qual é a probabilidade de, ao sortear um grupo de alunos, saírem exatamente
Observação: a soma das quantidades pedidas é
. Então estamos supondo que se sorteia um conjunto de
alunos aleatoriamente (sem ordem e sem reposição) dentre os
. Essa é a interpretação natural do enunciado.
Passo 2
Estratégia e ideia combinatória (intuição): quando se escolhe um subconjunto de alunos sem ordem, o número de maneiras de escolher
elementos dentre
é dado pela combinação
. Se queremos escolher simultaneamente elementos de grupos diferentes com quantidades fixas em cada grupo, contamos as escolhas possíveis em cada grupo e multiplicamos (princípio multiplicativo). A probabilidade será
Passo 3
Fórmula de combinação e explicação: a combinação
é o número de subconjuntos de tamanho
que podem ser formados a partir de um conjunto com
elementos. A fórmula é
onde
(lê-se “n fatorial”) é
. Essa fórmula surge porque há
maneiras ordenadas de escolher
elementos e divide-se por
para eliminar as permutações internas (a ordem não importa).
Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Calcular o número de maneiras favoráveis. Precisamos escolher:
-
alunos dentre os do ano: . -
alunos dentre os do ano: . -
alunos dentre os do ano: .
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras favoráveis é
Agora calculo cada combinação de forma clara e sem pular passos:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular o número total de maneiras de escolher
alunos dentre os
:
Vou calcular
de forma prática usando cancelamentos (não preciso usar calculadora complicada):
Agora simplificando passo a passo:
-
- Numerador
Podemos dividir alguns fatores: por exemplo,, , , . Substituindo:
Agora calculando:
Logo
Passo 6
Montar a probabilidade como razão entre favorável e total:
Essa fração pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por
:
Dividindo por
:
Não desanime: o raciocínio foi só combinar escolhas em cada grupo e dividir pelo total de escolhas possíveis. Isso é exatamente o que cai com frequência em provas — decora a ideia: multiplicar combinações por grupo e dividir por
.