4.12 Em uma classe, existem 5 alunos do 4^{\circ} ano, 4 do 2^{\circ} e 3 do 3^{\circ} ano. Qual é a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2^{\circ} ano, 3 do 4^{\circ} e 2 do 3^{\circ} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações fornecidas:
    • Existem 5 alunos do 4^{\circ} ano.
    • Existem 4 alunos do 2^{\circ} ano.
    • Existem 3 alunos do 3^{\circ} ano.
    • Total de alunos na turma: 5+4+3=12.
  • O que o enunciado pede:
    • Qual é a probabilidade de, ao sortear um grupo de alunos, saírem exatamente 2 alunos do 2^{\circ} ano, 3 do 4^{\circ} ano e 2 do 3^{\circ} ano?
Observação: a soma das quantidades pedidas é 2+3+2=7. Então estamos supondo que se sorteia um conjunto de 7 alunos aleatoriamente (sem ordem e sem reposição) dentre os 12. Essa é a interpretação natural do enunciado.

Passo 2

Estratégia e ideia combinatória (intuição): quando se escolhe um subconjunto de alunos sem ordem, o número de maneiras de escolher k elementos dentre n é dado pela combinação \binom{n}{k}. Se queremos escolher simultaneamente elementos de grupos diferentes com quantidades fixas em cada grupo, contamos as escolhas possíveis em cada grupo e multiplicamos (princípio multiplicativo). A probabilidade será
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de maneiras favoráveis}}{\text{nº de maneiras totais de escolher 7 alunos}}.ºáº

Passo 3

Fórmula de combinação e explicação: a combinação \binom{n}{k} é o número de subconjuntos de tamanho k que podem ser formados a partir de um conjunto com n elementos. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Essa fórmula surge porque há n(n-1)\cdots(n-k+1) maneiras ordenadas de escolher k elementos e divide-se por k! para eliminar as permutações internas (a ordem não importa).
Exemplo rápido para fixar: \binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.

Passo 4

Calcular o número de maneiras favoráveis. Precisamos escolher:
  • 2 alunos dentre os 4 do 2^{\circ} ano: \binom{4}{2}.
  • 3 alunos dentre os 5 do 4^{\circ} ano: \binom{5}{3}.
  • 2 alunos dentre os 3 do 3^{\circ} ano: \binom{3}{2}.
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras favoráveis é
\binom{4}{2}\cdot\binom{5}{3}\cdot\binom{3}{2}.
Agora calculo cada combinação de forma clara e sem pular passos:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6,
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=\frac{60}{6}=10,
\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3.
Multiplicando:
\text{favorable}=6\cdot10\cdot3=180.

Passo 5

Calcular o número total de maneiras de escolher 7 alunos dentre os 12:
\text{total}=\binom{12}{7}.
Vou calcular \binom{12}{7} de forma prática usando cancelamentos (não preciso usar calculadora complicada):
\binom{12}{7}=\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando passo a passo:
  • 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
  • Numerador =12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8.
    Podemos dividir alguns fatores: por exemplo, 10/5=2, 12/4=3, 9/3=3, 8/2=4. Substituindo:
\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{120} = \frac{3\cdot11\cdot2\cdot3\cdot4}{1} =3\cdot11\cdot2\cdot3\cdot4.
Agora calculando:
3\cdot11=33,\quad 33\cdot2=66,\quad 66\cdot3=198,\quad 198\cdot4=792.
Logo
\binom{12}{7}=792.

Passo 6

Montar a probabilidade como razão entre favorável e total:
\text{probabilidade}=\frac{\text{favorable}}{\text{total}}=\frac{180}{792}.
Essa fração pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 12:
\frac{180}{792}=\frac{15}{66}.
Dividindo por 3:
\frac{15}{66}=\frac{5}{22}.
Não desanime: o raciocínio foi só combinar escolhas em cada grupo e dividir pelo total de escolhas possíveis. Isso é exatamente o que cai com frequência em provas — decora a ideia: multiplicar combinações por grupo e dividir por \binom{\text{total}}{\text{tamanho do sorteio}}.

Resposta

\dfrac{5}{22}

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